3-7. ПРИМЕРЫ СИНТЕЗА НЕКОТОРЫХ УСТРОЙСТВ

Рассмотрим синтез схем некоторых устройств, часто встречающихся в телемеханике и вычислительной технике. На примере синтеза этих устройств еще раз оценим возможности того аппарата, изложению которого посвящена настоящая книга.

Преобразователь кодов

Преобразователем кодов служит устройство, осуществляющее взаимно однозначное соответствие между словами из некоторого входного алфавита и словами выходного алфавита

Как уже указывалось во введении, любой конечный автомат без памяти может рассматриваться как некоторый преобразователь кодов. Рассмотрим синтез функциональных схем преобразователей кодов на примере преобразователя из двоично-десятичного кода прямого замещения в код 2421 и преобразователя из кода прямого замещения в циклический код.

1. Преобразователь из кода прямого замещения в код 2421. Код прямого замещения и код 2421 определяются следующим образом.

Если через обозначить слово кода прямого замещения, а через слово кода 2421, то можно записать табличное задание четырех логических функций зависящих от аргументов

Таким образом, можно получить четыре неполностью определенные функции алгебры логики. На рис. 3-24 - 3-27 показаны области определения для всех четырех функций. Жирным, как всегда, показано покрытие, полученное при выбранном доопределении (доопределенное

(кликните для просмотра скана)

Рис. 3-26. (см. скан)

Рис. 3-27. (см. скан)

значение показано внутри треугольника неопределенности). В соответствии с этим доопределением получаем МДНФ для наших четырех функций:

На рис. 3-28 изображена функциональная схема для этой системы собственных функций. Эта функциональная схема построена на принципе простого синтеза для каждой из отдельно.

2. Преобразователь из кода прямого замещения в циклический код.

Рис. 3-28. (см. скан)

Если слово означает циклический код, соответствующий слову кода прямого замещения то возможно определить с помощью табличного задания четыре логические функции и зависящие от аргументов

В отличие от предыдущего случая для рассматриваемого преобразователя нет запрещенных комбинаций. Для

минимизаций функций Используем метод Квайна - Мак-Класки:

(см. скан)

Теперь составляем таблицу для нахождения минитермов 3- го ранга:

(см. скан)

Находим минитермы 3-го ранга:

(см. скан)

Единственным минитермом 1-го ранга является минитерм для функции .

Выписывая СДНФ для всех четырех функций по неотмеченным минитермам, получаем:

Функциональная схема преобразователя в циклический код приведена на рис. 3-29. Интересной особенностью этой схемы является то, что схемы для реализации функций идентичны между собой. Если в качестве типовой логической схемы рассмотреть схему, показанную отдельно на рис. 3-30, то можно считать, что преобразователь из кода прямого замещения в циклический код состоит из трех таких типовых ячеек.

Рис. 3-29,

Рис. 3-30.

Работа этих ячеек отличается друг от друга лишь значениями аргументов, подаваемых на входы (рис. 3-30).

Дешифратор

Полны мдешифратором на входов называется схема, имеющая входов и выходов. Каждый выход схемы однозначно сопоставлен одной из возможных двоичных комбинаций аргументов на входе. Единица на этом выходе появляется тогда и только тогда, когда на вход поступает сопоставленная данному выходу входная

комбинация аргументов. Таким образом, дешифратор является схемой, на выходе которой реализуются все характеристические функции для данного (характеристические функции рассмотрены в § 1-7). Будем предполагать, что на вход схемы одновременно с аргументом подается его отрицание. Для этого предположим, что где-то вне схемы дешифратора имеется стандартных логических элемента типа НЕ.

Если некоторые из входных комбинаций являются запрещенными, то соответствующий дешифратор называется неполным. Рассмотрим синтез полного дешифратора, так как синтез неполного дешифратора полностью предопределяется количеством и качеством запрещенных комбинаций и должен проводиться с учетом оптимального доопределения неполностью определенных собственных функций этого дешифратора.

Очевидно, что система собственных функций полного дешифратора на входов имеет следующий вид:

Будем строить функциональную схему для системы собственных функций дешифратора по методу каскадов. Первый каскад состоит из четырех элементов И, дающих на своих выходах все минитермы для ДСНФ функции Выходы элементов первого каскада являются входами элементов типа И второго каскада. Кроме того, на второй каскад поступают аргумент и его отрицание. Во втором каскаде имеется восемь элементов типа И, на выходах которых образуются функции, совпадающие с множеством минитермов для ДСНФ функции Эти выходы совместно с аргументом и его отрицанием являются входами третьего каскада, и т. д. (рис. 3-31). Ясно, что в каскаде схемы дешифратора будет элементов типа И, а общее число всех элементов типа И, необходимых для синтеза дешифратора по методу каскадов, определится из соотношения

Полный дешифратор, построенный по методу каскадов, часто называют пирамидальным дешифратором.

Пирамидальный дешифратор не является минимальной схемой полного дешифратора на входов. Это вытекает из справедливости следующего утверждения.

Полный дешифратор на входов может быть построен из двух полных дешифраторов на и входов и элементов типа И.

Рис. 3-31.

Доказательство справедливости этого следует из того факта, что любую собственную функцию полного дешифратора на входов можно представить в виде конъюнкции двух соответствующих собственных функций для полных дешифраторов на и входов.

Отсюда ясно, что пирамидальный дешифратор представляет собой полный дешифратор на входов, построенный за счет объединения полного дешифратора на вход и полного дешифратора на один вход. Ясно, что увеличение числа элементов типа И с увеличением числа входов дешифратора определяется следующим рекуррентным соотношением

Величина достигает минимума при . Это возможно при четном При нечетном минимум будет

достигаться, если отличаются друг от друга на единицу. Дешифратор, построенный по принципу разбиения «почти пополам», обычно называется прямоугольным дешифратором.

Рис. 3-32.

Экономия в элементах типа И в прямоугольном дешифраторе по сравнению с пирамидальным дешифратором иллюстрируется следующей таблицей:

На рис. 3-32 показана схема прямоугольного дешифратора на четыре входа.

Сумматор

Сумматор является основным устройством всякой современной вычислительной машины дискретного действия. Его работа сводится к выполнению

алгебраического сложения двух -разрядпых двоичных чисел. Будем предполагать, что это сложение осуществляется параллельно, сразу во всех разрядах суммируемых чисел. Как известно, для облегчения логики операции прямого вычитания в современных вычислительных машинах отрицательные числа представляются в виде специальных кодов. Эти коды позволяют заменить операцию прямого вычитания операцией сложения чисел в этих кодах. В современных машинах числа могут представляться прямым, обратным или дополнительным кодом согласно следующим соотношениям:

Здесь означает прямой код числа — обратный и дополнительный коды.

Рассмотрим случай прямого кода. В этом случае операции сложения и вычитания должны осуществляться по различным правилам. Рассмотрим сложение в некотором разряде, т. е. рассмотрим одноразрядный сумматор. Тогда имеем таблицу работы такого сумматора:

В этой таблице через обозначены слагаемые, стоящие в разряде исходных двоичных чисел, через обозначен перенос из разряда в означает двоичную сумму, получаемую в разряде, означает перенос в следующий разряд. Величины являются для синтезируемой схемы входными, а величины образуют систему собственных функций для рассматриваемой схемы.

Запишем функции и в ДСНФ:

Для синтеза функциональной схемы применим к этим функциям метод каскадов, предварительно преобразовав выражение для по методу Блека — Порецкого:

Соответствующая функциональная схема одноразрядной суммирующей схемы показана на рис. 3-33.

Рис. 3-33.

Однако рассмотренная схема не является оптимальной. В этом можно убедиться, построив более простую функциональную схему двоичного сумматора. Исходя из таблиц задания функций можно утверждать, что для всех наборов аргументов, кроме наборов имеет место соотношение

Это позволяет нам предположить, что более оптимальную схему одноразрядного сумматора можно получить по методу недоопределенных функций. Будем считать синтезированной схему для переноса так как эта схема проще схемы для суммы Теперь составим таблицу функции:

На рис. 3-34 показано доопределение этой не определенной функции. При этом

Соответствующая схема одноразрядного двоичного сумматора показана на рис. 3-35,а. На рис. 3-35, б показано

Рис. 3-34.

Рис. 3-35.

схематическое изображение одноразрядного сумматора.

Имеется строгое доказательство того факта, что схема сумматора, показанная на рис. 3-35,а, абсолютно минимальна.

Рассмотренная схема предназначается для сложения в одном разряде.

Рис. 3-36.

Если сумматор машины предназначен для производства операции сложения двух -разрядных двоичных чисел, заданных в прямом коде, то логические соотношения, определяющие работу такого сумматора, имеют следующий вид:

Реализация такого сумматора показана на рис. 3-36. При сложении чисел в обратном коде связь, показанная

на этом рисунке пунктиром, от старшего разряда сумматора в младший существует. При сложении в прямом или дополнительном коде эта связь отсутствует.

Преобразователь в дополнительный код

Из определения дополнительного кода [см. (3-10)] следует, что перевод из прямого кода в дополнительный описывается следующими логическими функциями:

Рис. 3-37.

Здесь означает содержимое знакового разряда. На рис. 3-37 показана функциональная схема преобразователя дополнительного кода для одного разряда.

Преобразователь в обратный код

Из (3-10) вытекает, что обратный код числа х есть число, совпадающее с х при неотрицательном х, и число, получающееся поразрядным отрицанием разрядов числа при неположительном х (число нуль имеет два представления: положительное и отрицательное). Отсюда

На рис. 3-38 показана функциональная схема для одного разряда преобразователя в обратный код.

Рис. 3-38