7-2. АЛГЕБРА ВРЕМЕННЫХ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ

Введем набор специальных функций алгебры логики, которые мы будем называть элементарными переходами. Элементарный переход типа 0,1 в момент времени обозначаемый как есть функция такого вида, как это показано на рис. 7-1,а. На рис. 7-1, б показан элементарный переход типа 1,0 в момент времени Этот переход мы будем обозначать как

Рис. 7-1.

Рассмотрим теперь некоторую временную последовательность Эта последовательность представляет собой последовательность переходов типа 0,1 и типа 1,0. Поэтому ее можно выразить в виде совокупности элементарных переходов. Для этого воспользуемся выражением через элементарные переходы одиночных импульсов (рис. 7-1,в) и одиночных пауз (рис. 7-1,г). Как следует из этих рисунков,

Пример 7-1. Выразить последовательность, показанную на рис. 7-2, через элементарные переходы.

Заменяя каждый импульс соответствующей конъюнкцией и беря дизъюнкцию этих конъюнкций, получаем:

Аналогично, заменяя каждую паузу соответствующей дизъюнкцией и беря конъюнкцию этих дизъюнкций, получаем:

Таким образом, можно утверждать, что любая временная последовательность может быть представлена в следующей форме:

при четном и при

или

при нечетном и при

или

при четном и при

или

Наконец, при нечетном и при

Представление в виде суперпозиции элементарных переходов любой временной последовательности тесно связано с бурно развивающимися исследованиями по спектральной теории функций алгебры логики.

Рис. 7-2.

В спектральной теории функции алгебры логики представляются в виде разложения по системе ортогональных функций Хаара, Радамахера — Уолша, Фурье, и т. п. Такой подход позволяет исследовать характеристики, аналогичные корреляционным и автокорреляционным функциям в обычной математике, и получать полезное описание переходного процесса. В данной книге мы не имеем возможности подробно останавливаться на этом подходе, чуждом по аппарату данной манере изложения. Заинтересованных читателей отсылаем к работам М. Г. Карповского, Э. С. Москалева и Р. Г. Фараджиева, указанным в списке литературы.

До сих пор мы рассматривали идеальные последовательности, для которых выполнялись требования

мгновенной схемы сигналов. Пусть теперь каждый переход совершается не в точно определенный момент времени а в некоторой зоне разброса, которую, как и ранее, мы будем обозначать отрезком На отрезке может быть задана плотность вероятности смены значений сигнала. На рис. 7-3 показаны временные диаграммы для такого случая. Зоны разброса заштрихованы. На рис. 7-3,а зоны разброса не пересекаются, а на рис. 7-3, б имеются пересекающиеся зоны.

Рис. 7-3.

Последовательности первого типа мы будем называть регулярными, а второго типа — нерегулярными. В нерегулярных последовательностях могут возникнуть всплески и провалы в момент пересечения зон разброса. Обозначим, через у вероятность того, что на отрезке может появиться всплеск. Через обозначим вероятность появления провала на том же интервале.

Проанализируем поведение последовательности показанной на рис. 7-3, б. Нерегулярность этой последовательности обусловлена пересечением зон разброса элементарного перехода а и элементарного перехода . Если фактическое время перехода таково, что он совершается раньше фактического перехода то последовательность содержит необходимые три импульса

и две паузы. Если же фактическое время перехода больше, чем время возникновения перехода то пауза между вторым и третьим импульсом исчезает. Так как при этом в реальной схеме фронты импульсов неидеальны, то на участке возможно появление кратковременных всплесков.

Пусть мы имеем некоторую схему без задержек, реализующую функцию алгебры логики. Однако на вход этой схемы поступает не идеальная последовательность двоичных сигналов, а последовательность типа тех, которые показаны на рис. 7-3. При этом на выходе схемы возникнет последовательность которой также будут иметься зоны разброса во время смены значений сигнала. Величина этих зон легко находится следующим образом. Рассмотрим случай схемы с двумя входами Если в момент времени на оба входа поступают сигналы 0 и 1 в чистом виде (т. е. в этот момент времени нет переходного процесса ни по одному из входов), то выходной сигнал определяется обычным образом на основании вида собственной функции схемы. Если по одному из входов идет переходный процесс, а по второму такого процесса нет, то зона разброса выходного сигнала для случая инвертора, схемы И и схемы ИЛИ определяется из следующих соотношений (здесь — любой из переходов,

Если в момент времени и на том и на другом входах устройства идет переходный процесс, то для схем И и ИЛИ зона разброса для определяется следующим образом (здесь ):

Если схема содержит несколько соединенных между собой элементов, то, последовательно переходя «от входа к выходу» каждого элемента, мы через конечное число шагов получим распределение зон разброса в выходной последовательности всей схемы.

Рис. 7-4. (см. скан)

Пример 7-2. Для схемы, показанной на рис. 7-4,а, и входных последовательностей, показанных на рис. построить распределение зон разброса выходной последовательности схемы. При этом для определенности положим

На рис. 7-5 последовательно показаны этапы построения выходных последовательностей для элементов схемы. На рис. 7-5,а и б показаны выходы инверторов, на рис. 7-5,в, г - выходы схем И, а на рис. 7-5,д — выход схемы ИЛИ, совпадающий с выходной последовательностью всей схемы.

Рис. 7-5. (см. скан)

Заметим, что в процессе его построения мы пользовались лишь соотношениями (7-5) — (7-7), так как зоны разброса для нигде не пересекались.

Пример 7-3. Для той же схемы и входных (последовательностей, доказанных на рис. 7-6, построить распределение зон разброса для выходной последовательности схемы.

Искомое распределение построено на нижнем графике, имеющемся на рис. 7-7.

(кликните для просмотра скана)

В предыдущем параграфе мы характеризовали задержку такой же зоной разброса, как и моменты смены значений сигналов. Наличие зоны разброса у задержки приводит к изменению длительности сигнала, поэтому сдвинутый сигнал может иметь не ту длительность, которую он имел до задержки.

Рис. 7-8.

Если задержка линейна, то она обладает свойством аддитивности: если имеется последовательное соединение двух задержек на тактов и на тактов, которые характеризуются зонами разброса , то такое соединение задержек эквивалентно задержке на тактов с зоной разброса

Рис. 7-9.

Пример 7-4. Для входной последовательности, показанной на рис. 7-8, найти выходную последовательность, реализуемую схемами, показанными на рис. 7-9. Задержка равна 10 единицам условного времени. Задержка характеризуется зоной разброса

Выходные последовательности показаны на рис. 7-10. На рис. 7-10,а показан результат прохождения входного сигнала через задержку. Как видно из этого рисунка, на отрезке [5, 25] возникла зона разброса. В этой золе где-то находится импульс входной последовательности, который был подан в начале процесса. От второго входного импульса возник импульс в зоне [30, 75]. При этом зоны разброса импульса увеличились за счет разброса, внесенного задержкой. Вся картина стала довольно «смазанной». Детерминировано только наличие импульса на отрезке (45, 60]. При взаимодействии задержанной последовательности с входной на элементе И возникает выходная последовательность, показанная на рис. 7-10, б. Импульс,

имеющийся на отрезке (5, 10], на выходе схемы может появиться или не появиться. Для его возникновения нужно выполнение двух условий: «затягивания» спада входного импульса и смещение зоны разброса задержки к левому концу. Как следует из соотношения (7-10), на выходе элемента И либо возникнет кратковременный всплеск, либо на выходе схемы импульса не будет.

Для случая, когда на выходе схемы стоит элемент ИЛИ, выходная последовательность показана на рис. 7-10, в. В зоне (5, 20] имеется

Рис. 7-10. (см. скан)

единичный импульс, местонахождение которого недетерминировано. В зоне возможно появление всплесков и провалов — см. соотношения (7-11). Зона возникла из-за увеличения зоны разброса заднего фронта второго импульса входной последовательности за счет разброса, вносимого задержкой.

Для схемы, показанной на рис. 7-9,в, выходная последовательность изображена на рис. 7-10, е. На рис. 7-10, г, д показаны последовательности, получаемые при прохождении входной последовательностью инвертора и задержки. Как следует из рис. 7-10,е, на выходе схемы возможно появление всплесков, если задний фронт импульса, полученного после задержки, будет достаточно «затянут», чтобы взаимодействовать со вторым импульсом входной последовательности.

Рассмотрение простых примеров, приведенных выше, показывает, что задача анализа функционирования схемы во время переходных процессов весьма трудоемка. Тем не менее описанная методика анализа позволяет исследовать достаточно сложные комбинационные схемы. При этом бывает удобно предварительно вынести все задержки на входы схемы, как это делалось в § 6-2.

Для схем, имеющих петли обратной связи, положение существенно хуже. Анализ по предлагаемой методике становится весьма трудоемким и малоэффективным. Поэтому для таких схем разумнее пользоваться некоторыми общими результатами об их функционировании при наличии разброса в форме сигналов и задержек. Некоторые из этих общих результатов мы приведем в следующем параграфе.