5-2. СВОЙСТВА ВРЕМЕННЫХ БУЛЕВЫХ ФУНКЦИЙ

В силу результатов предыдущего параграфа любая временная булева функция может быть представлена в виде

где есть функция алгебры логики.

Используя тот факт, что любая функция алгебры логики может быть представлена либо в дизъюнктивной, либо в конъюнктивной совершенной нормальной форме, дадим следующие два определения.

Определение 5-2. Если во временной булевой функции все функции представлены в ДСНФ, то соответствующее выражение для называется дизъюнктивной совершенной нормальной формой временной булевой функции

Если во временной булевой функции все функции представлены в КСНФ, то соответствующее выражение для называется конъюнктивной совершенной нормальной формой временной булевой функции

Из этих определений и соответствующих теорем для функций алгебры логики вытекает следующая теорема.

Теорема 5-2. Любая временная булева функция может быть представлена в ДСНФ или КСНФ.

Пример 5-4. Записать в ДСНФ и КСНФ следующую временную булеву функцию.

Составляем ДСНФ и КСНФ для

После этого запишем ДСНФ и КСНФ данной временной булевой функции

В силу вышесказанного ясно, что задача минимизации временных булевых функций может быть решена с помощью средств, подобных тем, какие рассматривались для случая минимизации функций алгебры логики.

Пример 5-5. Рассмотрим следующую функцию

Согласно определению 5-1 получим ДСНФ этой функции:

Составим для этой функции общее выражение с помощью неопределенных коэффициентов:

Переходим к системе уравнений для данной функции:

Приравнивая нулю коэффициенты, стоящие в уравнениях с нулевой правой частью, получаем:

Минимальная форма имеет вид

Из приведенного примера видно, что минимизация в случае временных булевых функций достаточно громоздка и при числе переменных х более трех или при большом количестве допустимых значений затруднительна. В подобных случаях можно проводить неполную минимизацию. Неполная минимизация проводится следующим образом. Пусть ДСНФ временной булевой функции имеет вид:

Находим по обычным правилам МДНФ для и за приближенное минимальное выражение, для берем:

где - МДНФ функции При большом и малом количестве аргументов х в функциях такой метод достаточно продуктивен.

Пример 5-6. Применяя метод неполной минимизации для функции примера 5-5, получаем:

За неполную минимальную форму принимаем выражение

Пример 5-7. Теперь применим метод неполной минимизации для временной булевой функции примера 5-4:

Неполная минимальная форма для запишется в виде следующего выражения:

Пример 5-8. Найдем неполную минимальную форму для следующей временной булевой функции:

Выписываем ДСНФ для функций

После минимизации каждой из этих функций получим:

В результате получаем минимальную формулу для

Будем говорить, что ВБФ является периодической с периодом если для любого имеет место соотношение

При табличной форме задания периодических временных булевых функций достаточно иметь в таблице строк и соотношение (5-6). Другими словами, для периодических ВБФ можно считать, что величина не ограничена сверху. Это последнее обстоятельство чрезвычайно важно для задач анализа и синтеза схем, работа которых описывается с помощью временных булевых функций. Рассмотрим несколько примеров периодических временных булевых функций.

Пример 5-9. Имеем

Из рассмотрения таблицы аытекает, что

Период функции равен двум.

Пример 5-10. Рассмотрим функцию

Эта функция не является периодической, так как она определена лишь для Однако мы можем произвольным образом доопределить ее для Если это доопределение будет подходящим образом выполнено, то получим периодическую временную функцию. В нашем случае наиболее естественно получить периодическую ВБФ с периодом, равным четырем:

Пример 5-11.

Эта функция может быть доопределена до периодической с периодом, равным пяти:

Следствие. Любая временная функция может быть доопределена до периодической временной булевой функции с периодом, большим чем