1-5. СВОЙСТВА СЛОЖЕНИЯ ПО МОДУЛЮ 2 ИМПЛИКАЦИИ И ФУНКЦИЙ ШЕФФЕРА И ВЕББА

Свойства функции сложения по модулю 2 и функции импликации часто бывают полезными при анализе и синтезе различных дискретных устройств.

Для функции сложения по модулю 2 имеют место переместительный и сочетательный законы, а также распределительный закон относительно конъюнкции:

Имеют место также очевидные соотношения:

Кроме того, имеет место формула

В отличие от всех ранее рассмотренных функций для импликации не имеют места переместительный и сочетательный законы:

Функции дизъюнкции и конъюнкции могут быть выражены через импликацию следующим образом:

Для функций Шеффера и Вебба имеет место переместительный закон

Сочетательный закон для них несправедлив:

Имеют место следующие очевидные соотношения, проверка которых представляется читателю:

В силу отсутствия сочетательного закона действия раскрытия скобок и вынесения за скобки для функций Шеффера и Вебба специфичны и выполняются по следующим правилам:

Доказательство справедливости этих соотношений аналогично. Докажем, например, справедливость равенства

Используя два последних соотношения из (1-20), преобразуем обе части этого соотношения следующим образом:

Совпадение левой и правой частей после проведения эквивалентных преобразований доказывает равенство.

Функции Шеффера и Вебба связаны между собой соотношениями, аналогичными формулам де Моргана для функций конъюнкции и дизъюнкции:

Для доказательства справедливости первого из этих соотношений заметим, что на основании двух последних равенств из (1-20) можно первое из соотношений (1-22) переписать в следующем виде:

Так как полученное соотношение есть формула де Моргана, то первое из соотношений (1-22) справедливо. Для второго соотношения доказательство аналогично.