Главная > Логические методы анализа и синтеза схем
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

ГЛАВА ВТОРАЯ. МИНИМИЗАЦИЯ ФУНКЦИЙ АЛГЕБРЫ ЛОГИКИ

2-1. ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ

В § 1-7 показано, что любая функция алгебры логики может быть записана в виде ДСНФ или КСНФ. Покажем теперь, что такая запись в ряде случаев является неэкономной, для чего рассмотрим следующий пример.

Пример 2-1. Пусть задана ДСНФ

Преобразуем эту ДСНФ следующим образом. Добавим еще один конъюнктивный член Это добавление не меняет данной функции, так как

Теперь преобразуем это выражение, используя сочетательное и распределительное свойства конъюнкции и дизъюнкции:

Используя свойство дизъюнкции получаем:

Аналогично предыдущему делаем дальнейшие преобразовании

Из примера видна неэкономность совершенных нормальных форм для представления функций алгебры логики. Проблема простейшего представления функций сводится к проблеме выбора базиса и проблеме наиболее экономного представления функций в этом базисе. В настоящее время существенные результаты в решении задачи минимизации получены лишь для базиса, состоящего из отрицания, конъюнкции и дизъюнкции. Именно этот базис и будет рассматриваться на протяжении всей этой главы, за исключением последних параграфов. Для уточнения постановки задачи о минимизации дадим ряд определений.

Определение Конъюнкция называется элементарной, если в этой конъюнкции каждая переменная встречается не более одного раза.

Определение 2-2. Рангом элементарной конъюнкции называется число букв, образующих эту конъюнкцию.

Определение 2-3. Дизъюнкция элементарных конъюнкций называется дизъюнктивной нормальной формой (ДНФ).

Определение 2-4. Дизъюнктивная нормальная форма для функции состоящая из элементарных конъюнкций ранга называется дизъюнктивной совершенной нормальной формой.

Из этого определения следует, что в ДСНФ входят конъюнкции наибольшего возможного для данной функции ранга. Поэтому с точки зрения ранга конъюнкций, входящих в ДНФ, ДСНФ является наиболее сложной.

Определение 2-5. Длиной ДНФ назовем число элементарных конъюнкций, образующих эту ДНФ.

Длину ДНФ будем обозначать буквой I.

Определение 2-6. Дизъюнктивная нормальная форма, имеющая наименьшую длину по сравнению со всеми другими ДНФ, эквивалентными данной функции, называется кратчайшей ДНФ (КДНФ).

Определение 2-7. Дизъюнктивная нормальная форма, содержащая наименьшее число букв по сравнению со всеми другими ДНФ, эквивалентными данной функции, называется минимальной ДНФ (МДНФ).

Определения, аналогичные определениям 14—20, можно дать и для случая конъюнктивных нормальных

форм. В дальнейшем ограничимся рассмотрением класса дизъюнктивных нормальных форм. При необходимости читатель сам может повторить все нижеследующие утверждения для случая конъюнктивных нормальных форм.

Рис. 2-1.

Еще раз подчеркнем, что мы рассматриваем лишь класс аналитических представлений для функций определяемый общей формулой

где представляет собой элементарные конъюнкции различных рангов.

Вернемся вновь к геометрической интерпретации области определения функции алгебры логики. Для наглядности будем рассматривать функцию трех переменных. При этом в наших рассуждениях нигде не будем опираться на выбранное число аргументов, поэтому все полученные результаты будут носить универсальный характер.

На рис. 2-1 показана область определения для произвольной функции трех переменных. Элементам куба

сопоставлены конъюнкции различного ранга: вершинам куба сопоставляются конъюнкции третьего ранга, ребрам куба — конъюнкции второю ранга, граням куба — конъюнкции первого ранга. Отметим при этом, что сумма размерности геометрического эквивалента и ранга, сопоставляемой этому геометрическому эквиваленту конъюнкции, постоянна и равна числу аргументов функции (в нашем случае она равна трем). Каждый геометрический эквивалент меньшей размерности покрывается всеми геометрическими эквивалентами большей размерности. По аналогии будем говорить о покрытии конъюнкции большего ранга соответствующими конъюнкциями меньшего ранга. Так, например, конъюнкции покрываются конъюнкцией . В общем виде операцию покрытия можно представить так:

Для этой операции чаще употребляется термин склеивание, которого мы и будем придерживаться в дальнейшем. Условимся называть геометрические эквиваленты интервалами.

Определение 2-8. Интервалом ранга называется подмножество вершин куба, соответствующее конъюнкции ранга.

Например, конъюнкции соответствует множество вершин с координатами . Соответствующий интервал ранга совпадает с гранью куба, покрывающей четыре указанные вершины.

Теперь заметим, что при задании некоторой функции алгебры логики автоматически задается множество ее единичных значений. Вершины, соответствующие наборам аргументов, на которых функция принимает единичное значение, образуют множество Задание некоторой ДНФ для данной функции эквивалентно заданию некоторого покрытия множества интервалами, определяемыми конъюнкциями, входящими в ДНФ.

Пример 2-2. На рис. 2-2 последовательно показано построение покрытия для функции заданной в ДСНФ

и преобразованной за счет вынесения за скобки

На рис. 2-2,а изображено покрытие интервалами третьего ранга, что соответствует представлению функции в ДСНФ, а на рис. 2-2, б - покрытие интервалами второго ранга, что соответствует представлению функции в виде упрощенной ДНФ.

Таким образом, установлено взаимно однозначное соответствие между заданием функции в виде некоторой ДНФ и покрытием множества для данной функции интервалами некоторого ранга.

Рис. 2-2.

Будем теперь рассматривать задачу о минимизации данной функции алгебры логики как задачу о нахождении минимальной дизъюнктивной нормальной формы для этой функции. Если обозначить ранги всех интервалов, образующих покрытие для данной функции, через то величина

характеризует собой суммарный ранг ДНФ, который численно совпадает с числом букв, входящих в данную ДНФ.

Учитывая определение 2-7, можно сформулировать теперь задачу о минимизации как задачу о нахождении покрытия множества при котором величина определяемая с помощью (2-3), будет минимальной.

Определение 2-9. Интервал называется максимальным, если не существует интервала с рангом меньшим, чем и такого, что имеет место соотношение

Рис. 2-3.

Рис. 2-4.

Пример 2-3. Для функции примера 2-1 максимальными интервалами будут интервалы (рис. 2-3).

Интервал например, максимальным не будет, так как для него имеет место соотношение

Определение 2-10. ДНФ, соответствующая покрытию множества Г всеми максимальными интервалами, называется сокращенной ДНФ (СДНФ).

Пример 2-4. На рис. 2-4,а показано покрытие множества для функции примера 2-2 с помощью максимальных интервалов. Соответствующая этой функции сокращенная ДНФ имеет вид:

Необходимо отметить, что СДНФ в общем случае не является минимальной. В этом можно убедиться, сравнив покрытия, приведенные на рис. 2-2, б и 2-4,а. Покрытие, показанное на рис. 2-2, б, дает МДНФ, а покрытие показанное на рис. 2-4,а — СДНФ. При этом число букв в МДНФ равно четырем, а в СДНФ — шести.

Теорема 2-1. Минимальная ДНФ получается из сокращеной ДНФ путем выбрасывания из покрытия множества максимальными интервалами некоторых интервалов.

Для доказательства достаточно показать, что покрытие, соответствующее МДНФ, состоит только из максимальных интервалов. Это очевидно, так как в противном случае

в МДНФ можно было бы заменить немаксимальные интервалы включающими их максимальными интервалами и число букв в ДНФ сократилось бы. Это противоречит тому, что рассматриваемая ДНФ является минимальной. Теорема доказана.

Определение 2-11. Дизъюнктивная нормальная форма называется тупиковой, если при удалении из нее любой конъюнкции получаемая в результате ДНФ не является эквивалентной исходной.

Для того чтобы показать отличие МДНФ от КДНФ, рассмотрим функцию

Этой функции соответствует покрытие, показанное на рис. 2-4,б. Заметим, что никакое сокращение числа максимальных интервалов для нее невозможно. Однако ясно, что минимальное покрытие состоит из грани (имеющейся на рисунке) и ребра, соединяющего эту грань с вершиной, соответствующей конъюнкции (рис. 2-4,в). При этом .

1
Оглавление
email@scask.ru