ГЛАВА ВТОРАЯ. МИНИМИЗАЦИЯ ФУНКЦИЙ АЛГЕБРЫ ЛОГИКИ

2-1. ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ

В § 1-7 показано, что любая функция алгебры логики может быть записана в виде ДСНФ или КСНФ. Покажем теперь, что такая запись в ряде случаев является неэкономной, для чего рассмотрим следующий пример.

Пример 2-1. Пусть задана ДСНФ

Преобразуем эту ДСНФ следующим образом. Добавим еще один конъюнктивный член Это добавление не меняет данной функции, так как

Теперь преобразуем это выражение, используя сочетательное и распределительное свойства конъюнкции и дизъюнкции:

Используя свойство дизъюнкции получаем:

Аналогично предыдущему делаем дальнейшие преобразовании

Из примера видна неэкономность совершенных нормальных форм для представления функций алгебры логики. Проблема простейшего представления функций сводится к проблеме выбора базиса и проблеме наиболее экономного представления функций в этом базисе. В настоящее время существенные результаты в решении задачи минимизации получены лишь для базиса, состоящего из отрицания, конъюнкции и дизъюнкции. Именно этот базис и будет рассматриваться на протяжении всей этой главы, за исключением последних параграфов. Для уточнения постановки задачи о минимизации дадим ряд определений.

Определение Конъюнкция называется элементарной, если в этой конъюнкции каждая переменная встречается не более одного раза.

Определение 2-2. Рангом элементарной конъюнкции называется число букв, образующих эту конъюнкцию.

Определение 2-3. Дизъюнкция элементарных конъюнкций называется дизъюнктивной нормальной формой (ДНФ).

Определение 2-4. Дизъюнктивная нормальная форма для функции состоящая из элементарных конъюнкций ранга называется дизъюнктивной совершенной нормальной формой.

Из этого определения следует, что в ДСНФ входят конъюнкции наибольшего возможного для данной функции ранга. Поэтому с точки зрения ранга конъюнкций, входящих в ДНФ, ДСНФ является наиболее сложной.

Определение 2-5. Длиной ДНФ назовем число элементарных конъюнкций, образующих эту ДНФ.

Длину ДНФ будем обозначать буквой I.

Определение 2-6. Дизъюнктивная нормальная форма, имеющая наименьшую длину по сравнению со всеми другими ДНФ, эквивалентными данной функции, называется кратчайшей ДНФ (КДНФ).

Определение 2-7. Дизъюнктивная нормальная форма, содержащая наименьшее число букв по сравнению со всеми другими ДНФ, эквивалентными данной функции, называется минимальной ДНФ (МДНФ).

Определения, аналогичные определениям 14—20, можно дать и для случая конъюнктивных нормальных

форм. В дальнейшем ограничимся рассмотрением класса дизъюнктивных нормальных форм. При необходимости читатель сам может повторить все нижеследующие утверждения для случая конъюнктивных нормальных форм.

Рис. 2-1.

Еще раз подчеркнем, что мы рассматриваем лишь класс аналитических представлений для функций определяемый общей формулой

где представляет собой элементарные конъюнкции различных рангов.

Вернемся вновь к геометрической интерпретации области определения функции алгебры логики. Для наглядности будем рассматривать функцию трех переменных. При этом в наших рассуждениях нигде не будем опираться на выбранное число аргументов, поэтому все полученные результаты будут носить универсальный характер.

На рис. 2-1 показана область определения для произвольной функции трех переменных. Элементам куба

сопоставлены конъюнкции различного ранга: вершинам куба сопоставляются конъюнкции третьего ранга, ребрам куба — конъюнкции второю ранга, граням куба — конъюнкции первого ранга. Отметим при этом, что сумма размерности геометрического эквивалента и ранга, сопоставляемой этому геометрическому эквиваленту конъюнкции, постоянна и равна числу аргументов функции (в нашем случае она равна трем). Каждый геометрический эквивалент меньшей размерности покрывается всеми геометрическими эквивалентами большей размерности. По аналогии будем говорить о покрытии конъюнкции большего ранга соответствующими конъюнкциями меньшего ранга. Так, например, конъюнкции покрываются конъюнкцией . В общем виде операцию покрытия можно представить так:

Для этой операции чаще употребляется термин склеивание, которого мы и будем придерживаться в дальнейшем. Условимся называть геометрические эквиваленты интервалами.

Определение 2-8. Интервалом ранга называется подмножество вершин куба, соответствующее конъюнкции ранга.

Например, конъюнкции соответствует множество вершин с координатами . Соответствующий интервал ранга совпадает с гранью куба, покрывающей четыре указанные вершины.

Теперь заметим, что при задании некоторой функции алгебры логики автоматически задается множество ее единичных значений. Вершины, соответствующие наборам аргументов, на которых функция принимает единичное значение, образуют множество Задание некоторой ДНФ для данной функции эквивалентно заданию некоторого покрытия множества интервалами, определяемыми конъюнкциями, входящими в ДНФ.

Пример 2-2. На рис. 2-2 последовательно показано построение покрытия для функции заданной в ДСНФ

и преобразованной за счет вынесения за скобки

На рис. 2-2,а изображено покрытие интервалами третьего ранга, что соответствует представлению функции в ДСНФ, а на рис. 2-2, б - покрытие интервалами второго ранга, что соответствует представлению функции в виде упрощенной ДНФ.

Таким образом, установлено взаимно однозначное соответствие между заданием функции в виде некоторой ДНФ и покрытием множества для данной функции интервалами некоторого ранга.

Рис. 2-2.

Будем теперь рассматривать задачу о минимизации данной функции алгебры логики как задачу о нахождении минимальной дизъюнктивной нормальной формы для этой функции. Если обозначить ранги всех интервалов, образующих покрытие для данной функции, через то величина

характеризует собой суммарный ранг ДНФ, который численно совпадает с числом букв, входящих в данную ДНФ.

Учитывая определение 2-7, можно сформулировать теперь задачу о минимизации как задачу о нахождении покрытия множества при котором величина определяемая с помощью (2-3), будет минимальной.

Определение 2-9. Интервал называется максимальным, если не существует интервала с рангом меньшим, чем и такого, что имеет место соотношение

Рис. 2-3.

Рис. 2-4.

Пример 2-3. Для функции примера 2-1 максимальными интервалами будут интервалы (рис. 2-3).

Интервал например, максимальным не будет, так как для него имеет место соотношение

Определение 2-10. ДНФ, соответствующая покрытию множества Г всеми максимальными интервалами, называется сокращенной ДНФ (СДНФ).

Пример 2-4. На рис. 2-4,а показано покрытие множества для функции примера 2-2 с помощью максимальных интервалов. Соответствующая этой функции сокращенная ДНФ имеет вид:

Необходимо отметить, что СДНФ в общем случае не является минимальной. В этом можно убедиться, сравнив покрытия, приведенные на рис. 2-2, б и 2-4,а. Покрытие, показанное на рис. 2-2, б, дает МДНФ, а покрытие показанное на рис. 2-4,а — СДНФ. При этом число букв в МДНФ равно четырем, а в СДНФ — шести.

Теорема 2-1. Минимальная ДНФ получается из сокращеной ДНФ путем выбрасывания из покрытия множества максимальными интервалами некоторых интервалов.

Для доказательства достаточно показать, что покрытие, соответствующее МДНФ, состоит только из максимальных интервалов. Это очевидно, так как в противном случае

в МДНФ можно было бы заменить немаксимальные интервалы включающими их максимальными интервалами и число букв в ДНФ сократилось бы. Это противоречит тому, что рассматриваемая ДНФ является минимальной. Теорема доказана.

Определение 2-11. Дизъюнктивная нормальная форма называется тупиковой, если при удалении из нее любой конъюнкции получаемая в результате ДНФ не является эквивалентной исходной.

Для того чтобы показать отличие МДНФ от КДНФ, рассмотрим функцию

Этой функции соответствует покрытие, показанное на рис. 2-4,б. Заметим, что никакое сокращение числа максимальных интервалов для нее невозможно. Однако ясно, что минимальное покрытие состоит из грани (имеющейся на рисунке) и ребра, соединяющего эту грань с вершиной, соответствующей конъюнкции (рис. 2-4,в). При этом .