Пред.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 255 256 257 258 259 260 261 262 263 264 265 266 267 268 269 270 271 272 273 274 275 276 277 278 279 280 281 282 283 284 285 286 287 288 289 290 291 292 293 294 295 296 297 298 299 300 301 302 303 304 305 306 307 308 309 310 311 312 313 314 315 316 317 318 319 320 321 322 323 324 325 326 327 328 329 330 331 332 333 334 335 336 337 338 339 340 341 342 343 344 345 346 347 348 349 350 351 352 353 354 355 356 357 358 359 360 361 362 363 След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
ГЛАВА ВТОРАЯ. МИНИМИЗАЦИЯ ФУНКЦИЙ АЛГЕБРЫ ЛОГИКИ2-1. ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯВ § 1-7 показано, что любая функция алгебры логики может быть записана в виде ДСНФ или КСНФ. Покажем теперь, что такая запись в ряде случаев является неэкономной, для чего рассмотрим следующий пример. Пример 2-1. Пусть задана ДСНФ
Преобразуем эту ДСНФ следующим образом. Добавим еще один конъюнктивный член
Теперь преобразуем это выражение, используя сочетательное и распределительное свойства конъюнкции и дизъюнкции:
Используя свойство дизъюнкции Аналогично предыдущему делаем дальнейшие преобразовании
Из примера видна неэкономность совершенных нормальных форм для представления функций алгебры логики. Проблема простейшего представления функций сводится к проблеме выбора базиса и проблеме наиболее экономного представления функций в этом базисе. В настоящее время существенные результаты в решении задачи минимизации получены лишь для базиса, состоящего из отрицания, конъюнкции и дизъюнкции. Именно этот базис и будет рассматриваться на протяжении всей этой главы, за исключением последних параграфов. Для уточнения постановки задачи о минимизации дадим ряд определений. Определение Определение 2-2. Рангом элементарной конъюнкции называется число букв, образующих эту конъюнкцию. Определение 2-3. Дизъюнкция элементарных конъюнкций называется дизъюнктивной нормальной формой (ДНФ). Определение 2-4. Дизъюнктивная нормальная форма для функции Из этого определения следует, что в ДСНФ входят конъюнкции наибольшего возможного для данной функции ранга. Поэтому с точки зрения ранга конъюнкций, входящих в ДНФ, ДСНФ является наиболее сложной. Определение 2-5. Длиной ДНФ назовем число элементарных конъюнкций, образующих эту ДНФ. Длину ДНФ будем обозначать буквой I. Определение 2-6. Дизъюнктивная нормальная форма, имеющая наименьшую длину по сравнению со всеми другими ДНФ, эквивалентными данной функции, называется кратчайшей ДНФ (КДНФ). Определение 2-7. Дизъюнктивная нормальная форма, содержащая наименьшее число букв Определения, аналогичные определениям 14—20, можно дать и для случая конъюнктивных нормальных форм. В дальнейшем ограничимся рассмотрением класса дизъюнктивных нормальных форм. При необходимости читатель сам может повторить все нижеследующие утверждения для случая конъюнктивных нормальных форм.
Рис. 2-1. Еще раз подчеркнем, что мы рассматриваем лишь класс аналитических представлений для функций
где Вернемся вновь к геометрической интерпретации области определения функции алгебры логики. Для наглядности будем рассматривать функцию трех переменных. При этом в наших рассуждениях нигде не будем опираться на выбранное число аргументов, поэтому все полученные результаты будут носить универсальный характер. На рис. 2-1 показана область определения для произвольной функции трех переменных. Элементам куба сопоставлены конъюнкции различного ранга: вершинам куба сопоставляются конъюнкции третьего ранга, ребрам куба — конъюнкции второю ранга, граням куба — конъюнкции первого ранга. Отметим при этом, что сумма размерности геометрического эквивалента и ранга, сопоставляемой этому геометрическому эквиваленту конъюнкции, постоянна и равна числу аргументов функции (в нашем случае она равна трем). Каждый геометрический эквивалент меньшей размерности покрывается всеми геометрическими эквивалентами большей размерности. По аналогии будем говорить о покрытии конъюнкции большего ранга соответствующими конъюнкциями меньшего ранга. Так, например, конъюнкции
Для этой операции чаще употребляется термин склеивание, которого мы и будем придерживаться в дальнейшем. Условимся называть геометрические эквиваленты интервалами. Определение 2-8. Интервалом Например, конъюнкции соответствует множество вершин с координатами Теперь заметим, что при задании некоторой функции алгебры логики автоматически задается множество ее единичных значений. Вершины, соответствующие наборам аргументов, на которых функция принимает единичное значение, образуют множество Пример 2-2. На рис. 2-2 последовательно показано построение покрытия для функции
и преобразованной за счет вынесения за скобки
На рис. 2-2,а изображено покрытие интервалами третьего ранга, что соответствует представлению функции в ДСНФ, а на рис. 2-2, б - покрытие интервалами второго ранга, что соответствует представлению функции в виде упрощенной ДНФ. Таким образом, установлено взаимно однозначное соответствие между заданием функции в виде некоторой ДНФ и покрытием множества
Рис. 2-2. Будем теперь рассматривать задачу о минимизации данной функции алгебры логики как задачу о нахождении минимальной дизъюнктивной нормальной формы для этой функции. Если обозначить ранги всех интервалов, образующих покрытие для данной функции, через
характеризует собой суммарный ранг ДНФ, который численно совпадает с числом букв, входящих в данную ДНФ. Учитывая определение 2-7, можно сформулировать теперь задачу о минимизации как задачу о нахождении покрытия множества Определение 2-9. Интервал
Рис. 2-3.
Рис. 2-4. Пример 2-3. Для функции примера 2-1 максимальными интервалами будут интервалы Интервал
Определение 2-10. ДНФ, соответствующая покрытию множества Г всеми максимальными интервалами, называется сокращенной ДНФ (СДНФ). Пример 2-4. На рис. 2-4,а показано покрытие множества
Необходимо отметить, что СДНФ в общем случае не является минимальной. В этом можно убедиться, сравнив покрытия, приведенные на рис. 2-2, б и 2-4,а. Покрытие, показанное на рис. 2-2, б, дает МДНФ, а покрытие показанное на рис. 2-4,а — СДНФ. При этом число букв в МДНФ равно четырем, а в СДНФ — шести. Теорема 2-1. Минимальная ДНФ получается из сокращеной ДНФ путем выбрасывания из покрытия множества Для доказательства достаточно показать, что покрытие, соответствующее МДНФ, состоит только из максимальных интервалов. Это очевидно, так как в противном случае в МДНФ можно было бы заменить немаксимальные интервалы включающими их максимальными интервалами и число букв в ДНФ сократилось бы. Это противоречит тому, что рассматриваемая ДНФ является минимальной. Теорема доказана. Определение 2-11. Дизъюнктивная нормальная форма называется тупиковой, если при удалении из нее любой конъюнкции получаемая в результате ДНФ не является эквивалентной исходной. Для того чтобы показать отличие МДНФ от КДНФ, рассмотрим функцию
Этой функции соответствует покрытие, показанное на рис. 2-4,б. Заметим, что никакое сокращение числа максимальных интервалов для нее невозможно. Однако ясно, что минимальное покрытие состоит из грани (имеющейся на рисунке) и ребра, соединяющего эту грань с вершиной, соответствующей конъюнкции
|
1 |
Оглавление
|