Часть вторая. СИНТЕЗ И АНАЛИЗ СХЕМ, РАБОТА КОТОРЫХ ЗАВИСИТ ОТ ВРЕМЕНИ

ГЛАВА ПЯТАЯ. ВРЕМЕННЫЕ БУЛЕВЫ ФУНКЦИИ И СИНТЕЗ МНОГОТАКТНЫХ СХЕМ

5-1. ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ

Рассмотрим множество векторов Будем предполагать, что координаты в этих векторах принимают значения 0 или 1, а координата — любые целочисленные значения от 0 до включительно. Для удобства будем в дальнейшем координату обозначать буквой и называть временной координатой или просто временем. Как и ранее (см. § 1-1), совокупность координат некоторого фиксированного вектора из представляющую собой совокупность значений будем обозначать как и называть набором.

Сопоставим каждому вектору из число 0 или 1, т. е. произведем однозначное отображение множества на множество

Определение 5-1. Временной булевой функцией ВБФ называется функция, дающая однозначное отображение на

Теорема 5-1. Общее число различных векторов в множестве равно Доказательство теоремы следует из оценки числа различных комбинаций значений координат векторов

Нетрудно понять, что если временная булева функция

зависит от времени несущественно, то она превращается в обычную функцию алгебры логики.

Общее число различных ВБФ, зависящих от и определяется с помощью следующей теоремы.

Теорема 5-2. Общее число различных временных булевых функций вида

где

равно

Доказательство этой теоремы полностью совпадает с доказательством теоремы 1-1 для функций алгебры логики.

Сформулированные теоремы свидетельствуют о том, что любую ВБФ можно полностью описать с помощью конечной таблицы.

Пример 5-1.

В силу теоремы 5-2 имеем различных наборов значений аргументов и различных ВБФ, для одной из которых таблица будет следующей:

Однако подобного рода табличная запись, хотя она и дает наибольшую «наглядность» рассматриваемой функции, в большинстве случаев неприменима из-за своей громоздкости.

В самом деле, если нас интересует поведение функции, зависящей от трех переменных, для изменяющегося от 0 до 10, то для построения таблицы потребовалось бы выписать 88 строк, соответствующих 88 возможным наборам значений аргументов этой функции. Поэтому для временных булевых функций подобно функциям алгебры логики, было бы удобно ввести более компактную и приемлемую для работы форму записи.

Рассмотрим некоторую временную булеву функцию:

Если дать некоторое фиксированное значение где , то эта функция примет вид:

Функция (5-3) есть уже обычная функция алгебры логики и может изучаться с помощью тех средств, которые рассматривались ранее. Заставляя пробегать всю последовательность допустимых значений, мы получим последовательность функций алгебры логики

Таким образом, любой временной булевой функции можно сопоставить последовательность функций алгебры логики.

Пример 5-2. Для ВБФ, рассмотренной в примере 5-1, имеем:

Для более удобной записи введем теперь специальную функцию та, определяемую соотношением

В новых обозначениях функция (5-1) записывается следующим образом:

Пример 5-3. Для ВБФ примера 5-1 имеем:

Для функции та верны соотношения

В первом из них дизъюнкция берется по всем а во втором — по всем

Эти два соотношения эквивалентны утверждению о том, что в любой фиксированный момент времени и только равна единице, а все остальные