2.5. СВЯЗЬ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛАПЛАСА. ДИСКРЕТНОГО ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛАПЛАСА И z-ПРЕОБРАЗОВАНИЯ

Указанная в заглавии параграфа связь удобно прослеживается при рассмотрении некоторых свойств этих преобразований.

Свойство 1. Пусть преобразование Лапласа функции — дробно-рациональное выражение порядка относительно переменной

где — полиномы по s соответственно порядка т. п. Тогда -преобразование этой функции — дробно-рациональное выражение порядка относительно переменной

где — полиномы по 2-1 соответственно порядка

Это свойство вытекает из (2.24), согласно которой каждому полюсу преобразования Лапласа соответствует в -преобразовании слагаемое типа , где b, а — комплексные постоянные.

Поскольку имеет полюсов [см. (2.26)], выражение ) содержит таких слагаемых, сумма которых и образует дробнорациональное выражение порядка относительно .

Свойство 2. Из (2.23) видно, что преобразование Лапласа и -преобразование взаимосвязаны. Полезно более конкретно проанализировать эту связь.

а. Согласно (2.26) и основной теореме алгебры,

Отсюда видно, что функция определена, если известны ее нули и полюсы, т. е. соответственно , (рис. 2.7).

б. Дискретное преобразование Лапласа соответствующее является периодической с периодом функцией (см § 2.3). Поэтому если функция имеет конечное число нулей и полюсов (рис. 2.7), то число нулей и полюсов функции бесконечно. Последние могут быть образованы путем смещения на величины, кратные периоду (периодизацией) вдоль оси тех нулей и полюсов функции и компонент-слагаемых которые попали в бесконечную полосу шириной параллельную вещественной оси, например в полосу (на рис. 2.8 заштрихована двойной и одинарной штриховкой).

В данном случае периодизируются нули и полюсы исходной непрерывной функции (рис. 2.7 и 2.8, исключая точки, помеченные звездочками).

Увеличим период дискретности системы настолько, что полоса шириной , ему соответствующая, станет такой, как показано на рис. 2.8 пунктиром. Тогда в периодизации будут принимать участие нуль и вещественный полюс исходной функции, а также изображенные на рис. 2.8 пятиконечными звездочками два полюса, попавшие в пунктирную полосу из смещенного на исходного (см. рис. 2.7) нупольного портрета функции При такой дискретизации расположение полюсов в одном периоде функции отлично от их расположения в функции и восстановить по сигналу не удастся (корневой вариант интерпретации условия (2.20), накладываемого на период дискретизации теоремой Котельникова).

Рис. 2.7

Рис. 2.8

в. У преобразования Лапласа и у дискретного преобразования Лапласа — одна и та же независимая переменная s. У -преобразования — новая комплексная переменная , которая связана с рассматривавшейся ранее переменной s, поскольку [см. (2.21)]:

Поэтому интересно установить, как на плоскость отображаются некоторые линии и области плоскости s, играющие важную роль при исследовании динамических систем (например, мнимая ось; прямая, параллельная мнимой оси, проходящая через точку левая полуплоскость ) плоскости s и т. п.).

Из (2.28) найдем, например, точку плоскости , соответствующую произвольной точке плоскости s:

Рассмотрим показательную форму представления точки

где

Из сравнения выражений (2.29) и (2.30) нетрудно установить:

Иначе говоря, вещественная часть точки s определяет амплитуду вектора, отвечающего точке z соответствующей точке s, а мнимая часть s — фазу этого вектора.

Пусть точка s движется вдоль мнимой оси плоскости s (рис. 2.8). Тогда соответствующая ей точка z на плоскости z имеет неизменную амплитуду а фаза этой точки [см. (2.31), (2.32)]. Это означает, что точка движется по окружности единичного радиуса в положительном направлении (против часовой стрелки, рис. 2.9), совершая полный оборот при изменении со на величину Действительно, если (рис. 2.8) и согласно (2.32) (рис. 2.9), то при имеем

Рис. 2.9

Таким образом, любой отрезок мнимой оси плоскости s, длина которого (жирная линия на рис. 2.8), отображается на плоскость z в окружность единичного радиуса; вся мнимая ось плоскости бесконечное число совпадающих окружностей единичного радиуса.

Пусть точка s движется вдоль прямой (рис. 2.8): . Тогда соответствующая точка z имеет опять неизменную амплитуду, но уже величина данной амплитуды . Вследствие этого любой отрезок прямой длиной отображается на плоскость z в окружность радиусом .

Из (2.31) при имеем , а при имеем Отсюда видно, что любая левая полуполоса плоскости s шириной (например, на рис. 2.8 заштрихованная двойной штриховкой) отображается на плоскость z в область — в круг единичного радиуса, а правая полуполоса (одинарная штриховка на рис. 2.8) — в область т. е. во всю плоскость z, за исключением круга единичного радиуса (рис. 2.9).

Вся ЛПП плоскости s отображается на плоскость в бесконечное число накладывающихся областей , а вся ППП плоскости s — в бесконечное число областей .

Рассмотренные соответствия свидетельствуют о полной эквивалентности методов исследования импульсной системы с помощью -преобразования и дискретного преобразования Лапласа. Однако наличие у каждого из этих преобразований некоторых удобных свойств заставляет сохранять в арсенале исследователя оба преобразования.

Рассмотрим, во что отобразится на плоскость бесконечная совокупность периодических полюсов функции , например

Согласно (2.28),

Иными словами, бесконечное число точек плоскости s на плоскости z представляется бесконечным числом точек одинаковой амплитуды с фазами , отличающимися только на целое число оборотов, т. е. представляется бесконечным числом совпадающих точек, визуально воспринимаемых как одна точка. В этом и состоит одно из преимуществ -преобразования в сравнении с дискретным преобразованием Лапласа.

Другое его преимущество — более компактная вследствие использования (2.28) форма записи выражений.

Сильной стороной дискретного преобразования Лапласа является его непосредственная связь с хорошо изученным преобразованием Лапласа, а следовательно, и с преобразованием Фурье, обслуживающим частотный метод.

Свойство 3. Преобразование Лапласа определяется парой интегральных преобразований

Здесь (2.33) и (2.34) — формулы прямого и обратного преобразования Лапласа соответственно.

Аналогом (2.33) в -преобразовании служит формула (2.22) — она играет роль формулы прямого -преобразования. Аналог (2.34) для -преобразования найдем, опираясь на цепочку соотношений (2.25),

Выполнив в замену переменной z на получим

Это преобразование Лапласа, правда, не от а от дискретного сигнала Поэтому для справедливо (2.34), в котором непрерывная переменная t заменена на дискретную

Интегрирование здесь ведется вдоль прямой (см. рис. 2.8). Разобьем путь интегрирования на отрезки длиной так, как показано на рис. 2.8. Учтем, что функция имеет в полосе шириной смещенной на целое число интервалов относительно заштрихованной полосы (см. рис. 2.8), те же полюсы, какие имеет функция в заштрихованной полосе. В результате получим

Выполним в этом выражении обратную замену переменной на z. Тогда перейдет в Затем прологарифмируем выражение (2.28): и продифференцируем его . В результате получим

Интеграл по переменной s вдоль любого отрезка длиной прямой перейдет на плоскости z в интеграл вдоль окружности радиуса (свойство 2 в § 2.5). Таким образом,

Поскольку путь интегрирования перестал зависеть от индекса суммирования, можем поменять местами операции суммирования и интегрирования:

Выражение в квадратных скобках представим так [см. (2.18)]:

в силу симметричности пределов суммирования.

Поэтому

— искомая формула обратного -преобразования, играющая в -преобразовании роль формулы (2.34) преобразования Лапласа.

Замечание 2.5. Из (2.35) непосредственно следует, что -преобразование дает информацию только о дискретных значениях сигнала в моменты, кратные

Свойство 4. Если процесс u(t) нужно определить аналитически либо на большом числе периодов дискретности, то нужно воспользоваться выражением (2.35). В противном случае предлагается другой алгоритм нахождения u(t) по U(z), когда последнее представляет собой дробно-рациональное выражение (см. свойство 1 из § 2.5).

Выполнив деление числителя на знаменатель по правилу деления полинома на полином, получим полином частного (обычно бесконечного порядка):

где — известные коэффициенты, которые получены в результате деления.

Выполним операции обратного -преобразования над левой и правой частями равенства (2.36). В результате с учетом таблицы (см. § 2.4) имеем

Сравним это выражение с (1.2), которое для большей наглядности запишем в развернутом виде:

Нетрудно заметить, что коэффициенты, полученные при делении числителя функции на ее знаменатель, равны значениям функции u(t) в соответствующие дискретные моменты времени, кратные

Таким образом, деление полинома числителя на полином знаменателя и представляет собой искомый алгоритм нахождения импульсной функции по ее -преобразованию.

Пример 2.2. Вычислить четыре первых значения сигнала , если

Согласно алгоритму (2.36),

С учетом (2.37) получим искомый начальный участок процесса (рис. 2.10).

Рис. 2.10