5.1. ПРИБЛИЖЕННЫЙ РАСЧЕТ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОГО КОРРЕКТИРУЮЩЕГО КОНТУРА С ПОМОЩЬЮ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛАПЛАСА

Расчет при соблюдении условия теоремы Котельникова. Пусть соблюдаются три условия: а) условие теоремы Котельникова (2.20) по отношению к сигналу (см. рис. 5.1)

где — ширина спектра сигнала ; б) условие (3.17)

где — частота среза частотной характеристики непрерывной части разомкнутой системы (см. рис. 5.1); в) условие достаточно крутого спада АЧХ этой системы в районе (см. вывод 4 из примера 3.2).

Тогда импульсная система (см. рис. 5.1) по отношению к сигналам u(t) и y(t) ведет себя как некоторая непрерывная. Поэтому можно предложить приближенный метод синтеза последовательного корректирующего контура, который тем более точен, чем надежнее выполняются перечисленные условия. Содержание этого метода описывают указанные ниже этапы.

Этап 1. Заменяем ключ и реальный экстраполятор непрерывным устройством с передаточной функцией , поскольку именно это соединение обладает свойством при переходить в непрерывное (см. замечание 3.1).

Передаточную функцию определяем, исходя из следующих соображений. На вход экстраполятора поступает импульсный сигнал (см. рис. 5.1).

Поэтому

Вследствие условия (5.2) через непрерывную часть пройдет лишь часть спектра (5.3) в диапазоне частот от 0 до . Вследствие выполнения условия (5.1) в этом диапазоне частот (см. рис. 2.3, 2.5)

Поэтому

Поскольку элемент с передаточной функцией должен стоять между сигналами , то, по определению, и из (5.5) имеем

Выполнимость условия (5.1) в данном случае можно оценить следующим образом. Известно, что , где — передаточная функция ошибки замкнутой непрерывной системы.

При исследовании переходной функции следящей системы, в которой непрерывной частью неизменяемой системы является, например, электродвигатель

передаточная функция ошибки

Если , то

Сигнал ошибки

имеет ограниченный аплитудный спектр (рис. 5.4, исключая пунктир), хотя полоса пропускания этой системы по сигналу ошибки и бесконечна (рис. 5.4, пунктир).

Рис. 5.4.

Используем в качестве экстраполятора экстраполятор нулевого порядка, частотная характеристика которого (см. (3.34), (3.35)) такова:

Учтем, что при малых значениях аргумента, например, тех, которые принадлежат указанному в (5.4) диапазону

(см. [4]), формула (5.6) примет вид

В результате получим, что передаточная функция

т. е. ключ и экстраполятор нулевого порядка заменяются звеном чистого запаздывания на полпёриода дискретности.

Аналогичным образом нетрудно показать, что для ключа и экстраполятора первого порядка .

Этап 2. Проводим синтез последовательного корректирующего контура известными из теории непрерывных САР методами [1, 12] для непрерывной системы, разомкнутая часть которой , полученной на этапе 1. Реализация коррекции в данном случае согласно схеме, приведенной на рис. 5.3, осуществляется, как и в случае непрерывных систем.

Рис. 5.5

Этап 3. Проверяем, насколько удачно выполнен синтез. Для этого проводим анализ качества импульсной системы, изображенной на рис. 5.3. (Здесь ) — передаточная функция вычисленного на этапе 2 контура.) Затем сравним показатели качества полученной импульсной системы с требуемыми.

Если неизменяемая часть системы содержит не только непрерывную , но и дискретную часть (см. рис. 5.5), то, считая, что

рассмотренную методику синтеза можно распространить и на этот случай. Здесь

(см. 5.4), где обозначено преобразование Лапласа, соответствующее функции, заключенной в квадратных скобках. Таким образом, — передаточная функция непрерывного устройства, работа которого соответствует алгоритму работы ЦВМ, представленному z-передаточной функцией .

Трудности расчета при нарушении условия теоремы Котельникова

Если условия теоремы Котельникова (5.1) нарушаются, то на интервале частот

(О возможности приближенной замены см. в примере 4.2. Если требуемая точность приближения достигается при , то считаем, что условия (5.1) нарушаются не сильно.) Отсюда

Для экстраполятора первого порядка (см. (5.6) и этап 1 из (5.1):

Используя (5.7) и подход, применяемый в примере 4.2 для построения кривой о), годограф функции , построенный для ,

который можно получить с помощью номограмм замыкания [1], учитывая, что условие (5.1) нарушается не сильно. Таким образом можно построить годограф .

Чем сильнее нарушаются условия (5.1), (5.2), тем большее число членов влияет на передаточную функцию . Следовательно, увеличивается число операций, необходимых для получения этой функции.

(Метод определения требуемого значения в выражении остается таким же, что и при решении аналогичного вопроса, когда строится z-АФЧХ импульсной системы, см. рис. 4.11.) Однако основная причина погрешности и неудобства расчета корректирующего контура импульсной системы, выполняемого с помощью замены ключа и экстраполятора непрерывным устройством с передаточной функцией не только в том, что учтено влияние может быть недостаточного количества компонент-слагаемых сигнала Основная причина еще и в том, что эти компоненты зависят от входного сигнала и от передаточной функции (см., например, формулу ). Даже если зафиксировать , поскольку Равенство (5.7) превращается в уравнение по отношению к .

Таким образом, следует признать, что такая методика синтеза дискретных САР при нарушении условий (5.1), (5.2) очень громоздка, неудобна и поэтому не эффективна.