7.2. УЧЕТ ЭФФЕКТА ОТ КВАНТОВАНИЯ ПО УРОВНЮ МЕТОДОМ ГАРМОНИЧЕСКОЙ ЛИНЕАРИЗАЦИИ

САР с микроЭВМ (см. рис. 7.3) — замкнутая импульсная си стема со ступенчатой нелинейностью. Могут ли в нелинейных импульсных системах создаться условия для возникновения автоколебания?

Пусть на выходе непрерывной части системы рис. 7.3 случайно возник гармонический сигнал такой, что, например, (рис. 7.4, а). Здесь Могут ли при отсутствии сигнала и такие колебания поддерживаться в этой системе?

Рис. 7.4

Поступив на импульсный элемент такты работы которого отмечены на рис. 7.4 крестиками, сигнал преобразуется в сигнал . Этот сигнал негармонический, но, как видно из рисунка, периодический с периодом . После линейного преобразования в ЦВМ он поступит на вход нелинейного элемента, на выходе которого сформируется периодический (с тем же периодом ) сигнал . Непрерывная инерционная часть системы в силу ограниченности ее полосы пропускания (гипотеза фильтра [12]) сформирует на своем выходе непрерывный сигнал , близкий к гармоническому, частота которого равна частоте первой гармоники разложения сигнала (на выходе преобразователя ) в ряд Фурье, т. е. частоте, соответствующей периоду

На рис. 7.5 сигнал изображен в масштабе по оси абсцисс в три раза более крупном, чем сигнал на рис. 7.4, а. Теперь на выходе ключа образуется (см. рис. 7.5) периодический импульсный сигнал периода — такого же, как и на входе ключа. Периодический такого же периода образуется сигнал на выходе нелинейного элемента и, следовательно, на выходе линейной непрерывной части. Таким образом, возникший произвольный гармонический сигнал в контуре не сохранился, однако вследствие его появления в системе сформировался гармонический сигнал новой частоты, который при определенных условиях поддерживаться ею может.

Рис. 7.5

Здесь имеется в виду тот факт, что для этого сигнала выполнено одно из необходимых условий наличия в системе незатухающих колебаний — период сигнала в произвольной точке замкнутого контура должен не измениться при возвращении сигнала в эту точку после прохождения но контуру.

При наличии незатухающих колебаний (и выполнении гипотезы фильтра ) можно производить расчет системы методом гармонической линеаризации. В [15] получены коэффициенты импульсной гармонической линеаризации q, связывающие гармонический импульсный сигнал на входе нелинейности с первой гармоникой разложения импульсного выходного сигнала этой нелинейности, в ряд Фурье (согласно идее, лежащей в основе метода гармонической линеаризации).

Форма импульсного гармонического сигнала

определяется не только его амплитудой и частотой но и сдвигом фазы (сравни сигналы ) на рис. 7.4, а, б. имеющие одинаковые , но разные Поэтому и коэффициент импульсной гармонической линеаризации зависит от трех переменных:

Из рассмотренного примера следует, что незатухающие свободные колебания при справедливости гипотезы фильтра могут существовать в замкнутой нелинейной импульсной системе только тогда, когда период сигнала равен периоду сигнала что возможно только в том случае, если содержит целое число периодов дискретности причем не менее двух. В связи с чем период при решении данной задачи измеряется в относительной мере — в периодах дискретности: — относительный период, следовательно, относительная частота

где — относительный полупериод колебаний, причем

Таким образом, если нелинейность описывается статической характеристикой , где и соответственно ее выход и вход, то [15]

Необходимым условием наличия незатухающих свободных колебаний в линеаризованной импульсной системе рис. 7.3 является условие попадания корней знаменателя ее дискретной передаточной функции

на мнимую ось, где — z-АФЧХ линейной части системы рис. 7.3, в которой частота выражена через относительную частоту

причем изменяется в диапазоне от 0 до , так как при а при [см. формулу (7.1)], (см. § 5.3)

При вычислении по (7.2) удобно нелинейность на рис. 7.3 представить [16] как параллельное соединение (сумму) релейных нелинейностей (рис. 7.6).

Уравнение (7.3) представим в виде

Частота автоколебаний может принять значение лишь из ряда значений, соответствующих относительным частотам я [см. выражение (7.1)], поэтому для каждого из этих значений частоты с помощью соотношения (7.5) можно найти амплитуду и фазу автоколебаний, если последние имеют место. Для решения этой задачи, например, частотным методом нужно построить z-АФЧХ (7.4) системы и совокупность по N семейств по кривых — см. рис. 7.7, а, б.

Из рис. 7.7, б видно, что предельного цикла на относительной частоте (с периодом ) в системе быть не может, так как точка кривой соответствующая находится вне поля кривых ) для и на одну из них точка не попадает, а следовательно, на этой частоте равенство (7.5) не удовлетворится.

Рис. 7.6

На частоте же предельный цикл существует (точка ) находится в поле кривых для рис. 7.7, а). Если , то этот предельный цикл устойчивый, и в системе возникнут автоколебания на частоте (периода ) с амплитудой фазой значения которых легко вычислить из рис. 7.7, а линейным интерполированием Как видно из рис. 7.7, решение задачи связано с большим объемом графических и аналитических операций.

Рис. 7.7

Кроме того, положительный ее результат расчетчика, как правило, не устраивает, так как автоколебания — нежелательное движение системы. В связи с чем больший практический интерес представляет задача построе такой системы, в которой автоколебания отсутствуют.

Автоколебания отсутствуют, если кривые не пересекаются, а они гарантированно не Пересе кутся, если при фиксированном N не попадает в область, где для этого же N может располагаться при различных значениях

В [16] показано, что для нелинеиностн (рис. 7.3) указанная область вне зависимости от числа ступенек нелинейности при всех расположена внутри угла величиной исходящего из точки построенного симметрично относительно отрицательной вещественной полуоси плоскости На рис. 7.8 штриховка обращена внутрь запретной для кривой области.

Рис. 7.8

В § 5.3 изложен метод синтеза корректирующего контура им пульсной линейной САР на основе z- и w-преобразований. Там фигурирует в виде (см. рис. 5.10) или в виде ЛАПЧХ (см. рис. 5.13), поэтому запретную область рис. 7.8 необходимо отобразить на ЛАЧХ или ЛАПЧХ. Для этого используются вспомогательные кривые, отражающие взаимосвязь амплитуды (А) и фазы вектора, начинающегося из начала координат, своим концом движущегося вдоль границы запретной области. Поскольку запретной области при каждом А (в силу ее симметричности) отвечают два значения угла

таких, что для построения ее или ее образа в системе координат ЛЧХ достаточно зависимости от А при движении конца вектора вдоль любой границы области, например, верхней. Нетрудно заметить, что тогда

Графически зависимость (7.6) представлена на рис. 7.9.

Располагая желаемой импульсной системы (рис. 7.10), для каждого значения по графикам рис. 7.9 находим соответствующие значения при различных N и строим запретные области (на рис. 7.10 границы областей заштрихованы). Чтобы в системе отсутствовали автоколебания, значения кривой на стотах и т. д. не должны попадать в запретные зоны — соответственно в зоны для и т. д. (табл. 7.1, составлена для случая, когда ).

Если это условие нарушается, то нужно смещать направо частоту (уменьшая ) до тех пор, пока оно станет выполняться.

Таблица 7.1

В системе рис. 7.10 автоколебания отсутствуют.

Они могли иметь место на частотах периодов если бы в импульсной системе, описываемой ЛАХ, могло быть равно значениям, меньшим 0,2. Однако ЛАХ этой системы при указанных значениях сильно отличается от представленной на рис. 7.10 в силу нарушения условий (5.1), (5.2) (см. § 2.3 и 5.2), поэтому судить о наличии автоколебаний при можно только после того, как ЛАХ соответствующей импульсной системы будет построена.

Рис. 7.9

Рис. 7.10