Главная > Микропроцессорные автоматические системы регулирования. Основы теории и элементы
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

4.1. z-АНАЛОГ КРИТЕРИЮ УСТОЙЧИВОСТИ МИХАЙЛОВА

Рассматривая левую часть характеристического уравнения непрерывной линейной системы

как функцию комплексной переменной и изменяя s по контуру (рис. 4.2, а, исключая крестики и пунктир), по числе оборотов вектора на своей плоскости (рис. 4.2, б), можно, пользуясь принципом аргумента

(здесь N — число нулей, Р — число полюсов функции D(s) внутри контура ), сделать вывод о числе корней характеристического уравнения в левой полуплоскости плоскости корней, следовательно, сделать вывод об устойчивости линейной непрерывной системы, соответствующей этому характеристическому уравнению [1].

В случае импульсной системы нули функции соответствующей функции непрерывной системы (пусть D(s) имеет нулей), периодизируются (см. (2.18) и рис. 4.2, включая крестики). Нулей становится бесконечно много, поэтому подход, используемый в теории непрерывных систем, не дает полезного результата. Но если взять нули в любой полосе плоскости s, шириной , параллельной вещественной оси [любой один период функции D(s)], например, в полосе, которая изображена на рис. 4.2, а пунктиром, то их там конечное число , как и у непрерывной системы.

Рис. 4.2

Если эти все нули расположены в левой полуполосе, то вся бесконечная совокупность нулей функции окажется расположенной в левой полуплоскости s, так как при периодизации нули перемещаются только строго вверх и строго вниз. Но тогда, если изменять переменную s вдоль замкнутого контура (контура , охватывающего указанную левую полуполосу), то вектор на плоскости в силу принципа аргумента (4.2) сделает оборотов, если функция содержит все нули в левой полуплоскости, т. е. если система устойчива в дискретные моменты времени, кратные Ведь в силу того, что функция D представляет собой полином, она не имеет полюсов. Число — порядок полинома, получающегося из если рассматривать как функцию переменной .

Часто исходным для анализа является z характеристическое уравнение

Тогда для описания функции D(z) потребуется другая пара комплексных плоскостей (рис. 4.3). Однако, учитывая связь из определения (2.21) получим .

Таким образом, функция содержит в себе информацию о функции в том числе и о той кривой, которая получается на плоскости при изменении s вдоль контура

Но

где

— тот закон изменения z, который получается по (2.28), если s изменять вдоль контура

Рис. 4.3

Тогда соотношение (4.4) принимает вид

Выражение (4.6) означает, что на плоскости получается кривая, имеющая форму кривой плоскости если z на плоскости придавать значения

Для определения согласно (4.5), достаточно отобразить контур плоскости s на плоскость z. Точка плоскости s (см. рис. 4.2, а) отобразится в соответствии с (2.28) в точку плоскости z (рис. 4.3, а). Отрезок — в окружность единичного радиуса (см. также § 2.5, свойство 2, в). Полупрямая — в отрезок (так как, во-первых, на всем этом отрезке поэтому там , а во-вторых, изменяется от 0 до , поэтому изменяется от 1 до 0).

Отрезок дуги отобразится в начало координат С. Полупрямая — в отрезок . Таким образом, весь замкнутый контур плоскости s отобразился в замкнутый контур плоскости z, т. е. в искомый контур . Изменяя z вдоль контура в функции на плоскости получим, как уже и говорилось, кривую, имеющую форму кривой По числу оборотов этой кривой относительно начала координат можно судить об устойчивости в дискретные моменты времени, кратные импульсной системы. В связи с чем исследуем, как ведет себя функция при изменении z вдоль отдельных участков контура

Когда то (см. (4.3) и рис. 4.3, б).

Пусть при изменении z вдоль отрезка Е конец вектора функции описал некоторую кривую (от точки ) до точки . В силу того, что точке z предстоит обойти весь контур она должна принимать значения, соответствующие участку В (от точки точки ), т. е. те же значения, что и на участке Е, но в обратном порядке. По этой причине вектор функции своим концом должен пройти по тем же, что и на кривой значениям, только в обратном порядке. Таким образом, суммарное изменение фазы вектора при движении точки z вдоль отрезков равно нулю. Следовательно, все окончательные приращения фазы вектора (а именно только они представляют интерес с позиции принципа аргумента) при изменении z вдоль контура происходят тогда, когда z принимает значения на окружности единичного радиуса |z| = 1. Получающаяся в этом случае на плоскости кривая является z-кривой Михайлова импульсной системы. Дело в том, что изменению z вдоль окружности единичного радиуса соответствует изменение s вдоль мнимой оси, отчего кривая той же формы , что и кривая (см. определение кривой Михайлова [1]).

В свете изложенного z-аналог критерия устойчивости Михайлова можно сформулировать следующим образом.

Для устойчивости импульсной системы в дискретные моменты времени, кратные необходимо и достаточно, чтобы z-кривая Михайлова (кривая на плоскости D(z), получающаяся при изменении z вдоль окружности единичного радиуса в положительном направлении) сделала оборотов вокруг начала координат в положительном направлении, где — порядок полинома D(z).

Пример 4.1. Исследовать с помощью -аналога критерия Михайлова устойчивость импульсной системы рис. 3.5, в которой Согласно формулировке критерия, требуется располагать -характеристическим полиномом замкнутой системы, который является знаменателем -передаточной функции замкнутой системы рис. 3.5.

где — z-передаточная функция разомкнутой импульсной системы.

Имея в виду (4.8), получим

см. табл. 2.1).

Рис. 4.4

Тогда

откуда

Пусть , тогда и

а) Исследуем устойчивость в дискретные моменты времени, кратные этой системы при k = 1. Тогда

и, придавая переменной значения на окружности единичного радиуса против часовой стрелки (рис. 4.4, о), получим —кривую Михайлова (рис. 4.4, б), для которой в качестве примера приведены результаты расчета ее значений в четырех отмеченных на рис. 4.4, а точках:

Из рис. 4.4, б видно, что z-кривая Михайлова 2 раза охватывает начало координат в положительном направлении, а из формулы (4.7) следует, что в нашем случае , поэтому исследуемая импульсная система при устойчива в дискретные моменты времени, кратные

б) Исследуем устойчивость при k = 10. Тогда

Расчет значений в четырех отмеченных точках в этом случае дает

а вся кривая Михайлова имеет вид рис. 4.4, в.

Она охватывает начало координат лишь один раз, что свидетельствует о неустойчивости импульсной системы рис. 3.5 в дискретные моменты времени, кратные при k = 10.

1
Оглавление
email@scask.ru