4.1. z-АНАЛОГ КРИТЕРИЮ УСТОЙЧИВОСТИ МИХАЙЛОВА

Рассматривая левую часть характеристического уравнения непрерывной линейной системы

как функцию комплексной переменной и изменяя s по контуру (рис. 4.2, а, исключая крестики и пунктир), по числе оборотов вектора на своей плоскости (рис. 4.2, б), можно, пользуясь принципом аргумента

(здесь N — число нулей, Р — число полюсов функции D(s) внутри контура ), сделать вывод о числе корней характеристического уравнения в левой полуплоскости плоскости корней, следовательно, сделать вывод об устойчивости линейной непрерывной системы, соответствующей этому характеристическому уравнению [1].

В случае импульсной системы нули функции соответствующей функции непрерывной системы (пусть D(s) имеет нулей), периодизируются (см. (2.18) и рис. 4.2, включая крестики). Нулей становится бесконечно много, поэтому подход, используемый в теории непрерывных систем, не дает полезного результата. Но если взять нули в любой полосе плоскости s, шириной , параллельной вещественной оси [любой один период функции D(s)], например, в полосе, которая изображена на рис. 4.2, а пунктиром, то их там конечное число , как и у непрерывной системы.

Рис. 4.2

Если эти все нули расположены в левой полуполосе, то вся бесконечная совокупность нулей функции окажется расположенной в левой полуплоскости s, так как при периодизации нули перемещаются только строго вверх и строго вниз. Но тогда, если изменять переменную s вдоль замкнутого контура (контура , охватывающего указанную левую полуполосу), то вектор на плоскости в силу принципа аргумента (4.2) сделает оборотов, если функция содержит все нули в левой полуплоскости, т. е. если система устойчива в дискретные моменты времени, кратные Ведь в силу того, что функция D представляет собой полином, она не имеет полюсов. Число — порядок полинома, получающегося из если рассматривать как функцию переменной .

Часто исходным для анализа является z характеристическое уравнение

Тогда для описания функции D(z) потребуется другая пара комплексных плоскостей (рис. 4.3). Однако, учитывая связь из определения (2.21) получим .

Таким образом, функция содержит в себе информацию о функции в том числе и о той кривой, которая получается на плоскости при изменении s вдоль контура

Но

где

— тот закон изменения z, который получается по (2.28), если s изменять вдоль контура

Рис. 4.3

Тогда соотношение (4.4) принимает вид

Выражение (4.6) означает, что на плоскости получается кривая, имеющая форму кривой плоскости если z на плоскости придавать значения

Для определения согласно (4.5), достаточно отобразить контур плоскости s на плоскость z. Точка плоскости s (см. рис. 4.2, а) отобразится в соответствии с (2.28) в точку плоскости z (рис. 4.3, а). Отрезок — в окружность единичного радиуса (см. также § 2.5, свойство 2, в). Полупрямая — в отрезок (так как, во-первых, на всем этом отрезке поэтому там , а во-вторых, изменяется от 0 до , поэтому изменяется от 1 до 0).

Отрезок дуги отобразится в начало координат С. Полупрямая — в отрезок . Таким образом, весь замкнутый контур плоскости s отобразился в замкнутый контур плоскости z, т. е. в искомый контур . Изменяя z вдоль контура в функции на плоскости получим, как уже и говорилось, кривую, имеющую форму кривой По числу оборотов этой кривой относительно начала координат можно судить об устойчивости в дискретные моменты времени, кратные импульсной системы. В связи с чем исследуем, как ведет себя функция при изменении z вдоль отдельных участков контура

Когда то (см. (4.3) и рис. 4.3, б).

Пусть при изменении z вдоль отрезка Е конец вектора функции описал некоторую кривую (от точки ) до точки . В силу того, что точке z предстоит обойти весь контур она должна принимать значения, соответствующие участку В (от точки точки ), т. е. те же значения, что и на участке Е, но в обратном порядке. По этой причине вектор функции своим концом должен пройти по тем же, что и на кривой значениям, только в обратном порядке. Таким образом, суммарное изменение фазы вектора при движении точки z вдоль отрезков равно нулю. Следовательно, все окончательные приращения фазы вектора (а именно только они представляют интерес с позиции принципа аргумента) при изменении z вдоль контура происходят тогда, когда z принимает значения на окружности единичного радиуса |z| = 1. Получающаяся в этом случае на плоскости кривая является z-кривой Михайлова импульсной системы. Дело в том, что изменению z вдоль окружности единичного радиуса соответствует изменение s вдоль мнимой оси, отчего кривая той же формы , что и кривая (см. определение кривой Михайлова [1]).

В свете изложенного z-аналог критерия устойчивости Михайлова можно сформулировать следующим образом.

Для устойчивости импульсной системы в дискретные моменты времени, кратные необходимо и достаточно, чтобы z-кривая Михайлова (кривая на плоскости D(z), получающаяся при изменении z вдоль окружности единичного радиуса в положительном направлении) сделала оборотов вокруг начала координат в положительном направлении, где — порядок полинома D(z).

Пример 4.1. Исследовать с помощью -аналога критерия Михайлова устойчивость импульсной системы рис. 3.5, в которой Согласно формулировке критерия, требуется располагать -характеристическим полиномом замкнутой системы, который является знаменателем -передаточной функции замкнутой системы рис. 3.5.

где — z-передаточная функция разомкнутой импульсной системы.

Имея в виду (4.8), получим

см. табл. 2.1).

Рис. 4.4

Тогда

откуда

Пусть , тогда и

а) Исследуем устойчивость в дискретные моменты времени, кратные этой системы при k = 1. Тогда

и, придавая переменной значения на окружности единичного радиуса против часовой стрелки (рис. 4.4, о), получим —кривую Михайлова (рис. 4.4, б), для которой в качестве примера приведены результаты расчета ее значений в четырех отмеченных на рис. 4.4, а точках:

Из рис. 4.4, б видно, что z-кривая Михайлова 2 раза охватывает начало координат в положительном направлении, а из формулы (4.7) следует, что в нашем случае , поэтому исследуемая импульсная система при устойчива в дискретные моменты времени, кратные

б) Исследуем устойчивость при k = 10. Тогда

Расчет значений в четырех отмеченных точках в этом случае дает

а вся кривая Михайлова имеет вид рис. 4.4, в.

Она охватывает начало координат лишь один раз, что свидетельствует о неустойчивости импульсной системы рис. 3.5 в дискретные моменты времени, кратные при k = 10.