3.4. ПРЕОБРАЗОВАТЕЛЬ Д-Н

Назначение данного устройства с учетом материала, изложенного в § 1.3, — преобразовывать импульсный сигнал непрерывный (см. рис. 1.18 и 3.15). Эту задачу можно было бы решить с помощью следующего устройства.

Рис. 3.15

Рис. 3.16

В данный момент по текущему значению сигнала и прошлым его значениям (обычно дискретным — в моменты времени, кратные ) оно «угадывает» значения этого сигнала на время те вперед. Такое устройство называется экстраполятором на те. Затем оно выдает «угаданные» значения на выход, когда соответствующие моменты времени наступают (см. рис. 3.16). Величина те должна меняться от нуля только до значения потому, что в момент на вход преобразователя поступит очередной импульс. Начиная с этого момента работу преобразователя можно организовать по алгоритму предыдущего цикла, так как момент времени стал текущим (до прихода следующего импульса).

Рис. 3.17

Семейство полиномиальных экстраполяторов. Требуемый экстраполятор на время (рис. 3.17) должен формировать выходной сигнал по алгоритму . Выполним от этого соотношения преобразование Лапласа при нулевых начальных условиях. С учетом теоремы запаздывания получим

Отсюда передаточная функция экстраполятора на

Экстраполятор на должен решать физически невыполнимую задачу — угадывать будущие значения сигнала, поэтому его точная реализация невозможна, и (3.27) описывает передаточную функцию идеального экстраполятора.

Выполним тождественные преобразования:

Затем разложим полученное выражение по формуле бинома Ньютона [4]:

Ограничивая этот ряд конечным числом членов, получим выражение для целого семейства приближенных экстраполяторов, передаточные функции которых описываются полиномами нулевого, первого, второго и следующих порядков.

Рис. 3.18

Рис. 3.19

По этой причине экстраполяторы указанного семейства называются полиномиальными экстраполяторами соответственно нулевого, первого, второго и следующих порядков. Они тем точнее представляют работу идеального экстраполятора, чем выше их порядок.

Пример 3.5. В качестве примера, иллюстрирующего степень приближения полиномиальных экстраполяторов к идеальному, рассмотрим работу простейшего из них — полиномиального экстраполятора нулевого порядка (рис. 3.18). Его передаточная функция согласно (3.28) и (3.29), имеет вид

Отсюда следует, что работа экстраполятора нулевого порядка организована в соответствии с принципом «удержания». Суть этого принципа в том, чтобы удерживать на выходе значение сигнала, равное величине (площади) поступившего на вход экстраполятора импульса (сравните с формирователем в § 1.2), в течение времени — пока не наступит момент прихода следующего входного импульса. Выходной сигнал в этом случае ступенчатый (сравните рис. 3.19 с рис. 1.15). Тогда ИПФ полиномиального экстраполятора нулевого порядка должна иметь такой вид, как на рис. 3.20, поскольку согласно определению она представляет собой реакцию этого экстраполятора на дельта-функцию единичной площади при нулевых начальных условиях, т. е. на сигнал в виде единственного импульса единичной силы в начале координат.

ИПФ (рис. 3.20) можно представить суммой двух ступенчатых функций (рис. 3.21):

Из [1] известно, что . Тогда с учетом (3.32)

Передаточная функция экстраполятора нулевого порядка (3.33) отличается от его передаточной функции (3.30) тем, что при использовании последней нужно учитывать еще и ограничение (3.31), в первой же это ограничение уже учтено.

Рис. 3.20

Рис. 3.21

АФЧХ экстраполятора нулевого порядка

где - вещественная и мнимая частотные характеристики экстраполятора нулевого порядка. Здесь функция представлена по формуле Эйлера.

Амплитудная частотная характеристика экстраполятора нулевого порядка

Фазовая частотная характеристика экстраполятора нулевого порядка

(3.35)

График АЧХ экстраполятора нулевого порядка изображен на рис. 3.22 сплошной линией, пунктиром представлена АЧХ идеального экстраполятора.

Рис. 3.22

Сравнение процессов на рис. 3.19 дает представление о степени неточности работы экстраполятора нулевого порядка в сравнеини с работой идеального экстраполятора во временной области. Сравнение кривых , представленных на рис. 3.22, сделанное с учетом рис. 2.5 и замечания 2.4, дает частотную интерпретацию причин этой неточности: экстраполятор нулевого порядка помимо основного пропускает (правда, ослабленными) и другие компоненты - слагаемые спектра импульсного сигнала.

Пример 3.6. Для полиномиального экстраполятора первого порядка, согласно (3.28) и (3.29), имеем передаточную функцию

Согласно этой передаточной функции работа указанного экстраполятора в интервале времени от описывается соотношением , если — выход и вход экстраполятора соответственно.

В соответствии с этим соотношением сигнал и ИПФ как реакция на едииствеииую дельта-функцию единичной площади в начале координат должны иметь такой вид, как на рис. 3.23 и 3.24 соответственно. Ломаная на рис. 3.24 может быть представлена как сумма элементарных функций (рис. 3.25):

Преобразовав это выражение по Лапласу, получим

Рис. 3.23

Замечание 3.1. Из условия (2.20) и рис. 2.5 следует, что чем с большим запасом это условие выполняется, тем дальше отодвигаются боковые компоненты-слагаемые спектра импульсного сигнала u*(t) и (в силу ограниченности полосы пропускания приемника этого сигнала) тем более надежно дискретный сигнал воспринимается приемником как непрерывный

Рис. 3.24

Рис. 3.25

Но тогда напрашивается вывод:

Однако утверждение это неверное. Действительно, пусть . Из табл. 2.1. и, следовательно, .

Результат представляется неожиданным, однако его легко объяснить: сигнал — идеализированный, он составлен из дельта-функций и ни при каком уменьшении не может перейти в класс непрерывных сигналов. В непрерывный можно преобразовать предельным переходом или реальный импульсный, или, например, ступенчатый сигнал. Для того чтобы получить их из сигнала нужно после ключа включить или формирователь реальной формы импульса (см. § 1.2), или экстраполятор нулевого (либо любого другого) порядка.

В последнем случае [см. (3.33)]

При получается неопределенность типа 0/0. раскрыв которую по правилу Лопиталя, получим

Почему же при рассмотрении частотного представления сигналов при выполнении условия (2.20) несправедливость соотношения (3.39) воспринимается как неожиданность? Дело в том, что импульсный сигнал в условиях (2.20) рассматривается нами подсознательно в свете его взаимодействия с последующей непрерывной частью системы, которая в силу ограниченности своей полосы пропускания реагирует только на несмещенную компоненту-слагаемое, соответствующую в формуле (2.18) спектра форма которой из-за условий (2.20) не отличается от формы спектра непрерывного сигнала Вследствие этого результат воздействия на непрерывную часть импульсного сигнала совпадает с результатом воздействия на нее сигнала непрерывного. Выражение (3.39) имеет отношение не к результату воздействия сигнала а к самому этому сигналу, спектр которого никогда не совпадает со спектром сигнала так как, если спектр практически конечен, то спектр — бесконечный периодический. Отсюда и в частотной области видно, что соотношение (3.39) не может иметь места даже в том случае, если форма несмещенной компоненты-слагаемого спектра совпадает с формой спектра

Экстраполятор нулевого порядка в данном примере играет роль фильтра, преобразующего бесконечный спектр в конечный так как при соблюдении условия (2.20) этот фильтр можно считать идеальным [при малых значениях имеем — см. выражения (3.34), (3.35)].