5.2. ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ АМПЛИТУДНАЯ И ФАЗОВАЯ ЧАСТОТНАЯ ХАРАКТЕРИСТИКИ {ЛАХ) ИМПУЛЬСНОЙ СИСТЕМЫ

Б классической теории непрерывных САР осуществлять синтез удобно потому, что он проводится на языке ЛАХ [1, 12]. В этой связи исследуем свойства ЛАХ импульсных систем.

Согласно (4.18), амплитудно-фазовая частотная характеристика (АФЧХ) импульсной системы на интервале одного ее полупериода

где — АФЧХ непрерывной части импульсной системы (см. рис. 3.5, исключая пунктир).

В примере , которая и определяется (5.9), уже строилась. Алгоритм построения на основе (5.9) базировался на смещении амплитудной (см. рис. 4.10 и 5.6) и фазовой частотных характеристик непрерывной системы вдоль оси частот на величины, кратные . В результате этого получим смещенные левые ветви (СЛВ) характеристик. Части этих характеристик в диапазоне частот , являются теми добавочными компонентами (см. штрихпунктир и двойной штрихпунктир на рис. 5.6), из которых вместе с правой ветвью (ПВ) основного компонента-слагаемого складывается z-АФЧХ. (В дальнейшем отрезки смещенных ветвей в диапазоне будем называть добавками.) Информация о добавках, соответствующих смещенным в сторону отрицательных частот компонентам-слагаемым, легко получить на ПВ основного компонента-слагаемого.

Например, первый такого рода добавок изображен на рис. 5.6 пунктиром, и его нужно только переместить в диапазон от 0 до .

Использовать непосредственно этот способ получения добавок, соответствующих , когда непрерывная часть системы представлена ЛАХ (рис. 5.7), не удается, так как возникают трудности при представлении с помощью ЛАХ левой ветви (ЛВ) кривой той ветви (см. рис. 5.6), которая смещением на , превращаясь в СЛВ, дает, например, штрихпунктирный добавок.

Рис. 5.6

Ведь точка ЛАХ, соответствующая , находится в области «минус бесконечность», а логарифм отрицательных значений частот вообще не существует.

Однако информацию об этих добавках можно получить иначе. Действительно, ЛВ рассматриваемой характеристики симметрична ПВ. Следовательно, штрихпунктирный компонент, являющийся до смещения отрезком ЛВ (волнистая линия на рис. 5.6), симметричен соответствующему отрезку ПВ (жирная линия на рис. 5.6), который, как это видно из рис. 5.6, симметричен относительно прямой П (параллельной оси ординат, проходящей через точку штрихпунктирному добавку. Таким образом, интересующий нас штрихпунктирный добавок можно получить зеркальным (относительно прямой П) отображением отрезка ПВ, расположенного правее указанной прямой.

Чтобы получить первый добавок, представленный на языке ЛАХ, достаточно зеркально отобразить высокочастотную часть ЛАХ относительно прямой, которая параллельна оси и проходит через точку . Чтобы получить второй добавок, нужно выполнить эту же операцию относительно прямой, проходящей через точку , и т. д. При этом, правда, следует учитывать, что отображенный отрезок характеристики окажется несимметричным исходному, как это, казалось, должно быть (см. двойные линии на рис. 5.7, а, на котором принято ).

В силу неравномерности логарифмического масштаба отображенный отрезок характеристики растянут в сторону низких частот (см. одинарные, двойные и тройные штрихпунктирные линии на рис. 5.7, а).

Фазовые характеристики добавок нужно получать по фазовой характеристике непрерывной системы с помощью того же алгоритма, что и амплитудные.

Рис. 5.7

Только после отображения отрезков фазовых характеристик (см. волнистый одинарный, двойной и тройной штрихпунктир на рис. 5.7, б) в силу нечетности смещаемой функции у полученных кривых нужно изменить знак на обратный (см. одинарный, двойной и тройной штрихпунктир на рис. 5.7, б).

Теперь на интервале , нужно сложить АФЧХ, соответствующие исходной ЛАХ и ЛАХ в виде одинарного, двойного и тройного штрихпунктиров. Сделать это можно двумя способами.

1. По ЛАХ при фиксированном значении находим соответствующие им векторы на плоскости функций комплексной переменной. Геометрически складываем найденные векторы. Полученный вектор суммы есть . Находим логарифмическое представление вектора и откладываем соответствующие ему точки на ЛАХ. Проведя указанные операции при других фиксированных значениях , получим ЛАХ, соответствующую .

2. Известно, что

Отсюда ЛАХ суммы двух АФЧХ получают по ЛАХ слагаемых следующим образом: вычитают из ЛАХ результат обработки по номограмме замыкания разности ЛАХ и ЛАХ .

Рис. 5.8

Применив повторно один из указанных способов к полученной ЛАХ суммы и ЛАХ построим ЛАХ суммы трех АФЧХ и т. д.

Складывать ЛАХ одним из указанных способов, каждый из которых довольно громоздок, нужно в том случае, если модуль слагаемых разности не превосходит 20 дБ. В противном случае меньшим слагаемым можно пренебречь, так как условие означает, что модули слагаемых различаются в 10 раз, отчего их сумма приблизительно равна большему из слагаемых вне зависимости от фазы меньшего из них (рис. 5.8).

Выполнив сложение, получим (см. жирные линии на рис. 5.7) логарифмическое представление z-АФЧХ (см. рис. 4.11, правую ветвь жирной линии на рис. 4.10). Используя свойства симметричности и периодичности АФЧХ импульсной системы располагая логарифмическим представлением z-АФЧХ, можно легко построить всю ЛАХ импульсной системы

Из рис. 5.7 видно, что ЛАХ импульсной системы потеряла основное свойство ЛАХ непрерывной системы — асимптотическое, т. е. асимптоты ЛАХ импульсных динамических звеньев и системы в целом отсутствуют.

Использование асимптотического свойства ЛАХ непрерывных САР позволяло не только существенно облегчить построение ЛАХ этих САР, но и находить их аналитическое описание по графическому представлению, в связи с чем желательно возродить асимптотическое свойство ЛАХ для импульсных систем.

Это можно сделать, так как информация обо всей ЛАХ импульсной системы содержится в отрезке этой характеристики, соответствующем частотному диапазону Поэтому для возвращения асимптотических свойств достаточно от частоты со перейти к такой новой переменной v (псевдочастоте), которая связана со старой так, что отрезок частот ) соответствует всей правой полуоси псевдочастоты v. Эта связь может быть, например, такой:

Рис. 5.9

Действительно, при ; при .

Если теперь перестроить график применительно к новой переменной (рис. 5.9), то отрезок от «растянется» на всю правую полуось переменной v, а вместе с ним до бесконечности «растянутся» и жирные кривые на рис. 5.7, а, б, к которым вследствие этого возвратятся асимптотические свойства. Кривые примут вид логарифмической амплитудной и фазовой псевдочастотных характеристик (ЛАПЧХ, ЛФПЧХ).

Согласно положениям теории непрерывных систем [1], после аппроксимации ЛАХ непрерывной системы отрезками прямых, наклон которых кратен можно легко записать аналитическое выражение передаточной функции где s — комплексная переменная, для которой частота со является ее мнимой частью. Иначе говоря, — значение s на мнимой оси:

Аналогично положениям теории непрерывных систем после аппроксимации кривой отрезками прямых с наклонами, кратными (где декада — десятикратное изменение псевдочастоты v), запишем аналитическое выражение функции соответствующее кривой Это выражение является функцией такой комплексной переменной w, для которой псевдочастота v есть мнимая ее часть:

Функция называется ш-передаточной функцией импульсной системы.

В теории непрерывных — такая функция переменной s, что . В силу того, что функция получена из таким же образом, как из она обладает аналогичным функции свойством:

Из рис. 5.9 видно, что

где

Чтобы мнимые ласти переменных s и были связаны так, как указано в соотношении (5.10), сами переменные должны быть связаны следующим образом [4, 28]:

Действительно, согласно формуле Эйлера,

Из условия

[см. (5.11)] следует, что Но тогда

т. е. [см. (5.10)] действительно является мнимой осью плоскости комплексной переменной w, если последняя сформирована по закону (5.13).

Выполнив в (5.13) замену переменных на , получим формулу связи переменной w с переменной :

С помощью (5.14) легко перейти от полученного ранее аналитического выражения -передаточной функции [см. (5.12)] к аналитическому выражению -передаточной функции импульсной системы:

Как следует из (5.10), переменная v безразмерна. Но по своему физическому назначению v должна играть роль частоты, в связи с чем ее размерность должна была бы быть рад/с Поэтому в некоторых литературных источниках [12] переменная v называется относительной псевдочастотой. Там вводят в рассмотрение еще переменную , которая, как это видно из приведенного соотношения, имеет размерность Она называется абсолютной псевдочастотой. Поскольку

при малых значениях частоты (где можно считать, что значение тангенса угла приблизительно равно значению угла) имеем

т. е. абсолютная псевдочастота почти совпадает с обычной частотой, чем иногда пользуются, например, при расчете установившейся ошибки.