4.2. z-АНАЛОГ КРИТЕРИЮ УСТОЙЧИВОСТИ НАЙКВИСТА—МИХАЙЛОВА

Пусть задана непрерывная система (рис. 4.5), которая в разомкнутом состоянии неустойчива. Ее передаточная функция имеет к полюсов в правой полуплоскости (см. черные кружочки на рис. 4.6, там х = 3). Здесь M(s), N(s) — полиномы по s соответственно порядка . Так как передаточная функция замкнутой системы , то выражение — ее характеристическое уравнение.

Рис. 4.5

Рис. 4.6

Поэтому если изменять s вдоль контура (см. рис. 4.6, исключая крестики и штриховые линии) и учитывать принцип аргумента, то по числу оборотов вектора функции на ее плоскости можно судить об устойчивости замкнутой системы, приведенной на рис. 4.5 [1].

Такой подход к анализу устойчивости импульсной системы, изображенной на рис. 3.5, исключая пунктир, (она отличается от системы на рис. 4.5 только наличием ключа после элемента сравнения) не приводит к желаемому результату. Это происходит потому, что функция

[см. (3.14)] и функция имеют бесконечное число полюсов в ППП ллоскости s, так как эти полюсы получаются путем периодизации полюсов функций расположенных в ППП.

Известно, однако, что в любой полуполосе шириной , например в той, что отмечена жирным пунктиром на рис. 4.6, а, функция имеет конечное число полюсов — такое же, как и функция . И если окажется, что функция не содержит нулей в этой полуполосе, то она не содержит их и во всей ППП плоскости s, так как при периодизации нули и полюсы перемещаются только строго вверх и строго вниз.

Но тогда отсутствие нулей в правой полуполосе — свидетельство устойчивости в дискретные моменты времени, кратные , замкнутой импульсной системы (см. рис. 3.5), ведь — знаменатель ее дискретной передаточной функции [см. (3.14)].

Проверить отсутствие в правой полуполосе нулей функции можно, изменяя s вдоль контура (см. рис. 4.6, а, жирные линии) и подсчитывая при этом число оборотов вектора на плоскости (см. рис. 4.6, б). Согласно принципу аргумента

где N, Р — соответственно число нулей и полюсов функции внутри контура минус перед скобкой появился вследствие того, что обход контура происходит по часовой стрелке (в отрицательном направлении). Но функция в правой полуполосе, ширина которой имеет полюсов. Здесь — такое же число полюсов, как и у функции поскольку такое же количество полюсов в этой полуполосе имеет функция а с ее знаменателем совпадает знаменатель функции Следовательно, и признаком того, что в правой полуполосе нет нулей функции явилось бы выполнение равенства

[см. (4.8)].

Если исходным для анализа устойчивости является описание импульсной системы (см. рис. 3.5) на языке -преобразований [см. (3.15)], то

Тогда для описания функции потребуется другая пара плоскостей (рис. 4.7). Но, учитывая и определение (2.21), получим

Иными словами, функция содержит в себе информацию о функции , в том числе и о той кривой, которая получается на плоскости при изменении s вдоль контура

Но

где обозначено

— тот закон изменения z (тот контур на плоскости z), который соответствует изменению s вдоль контура Тогда выражение (4.12) примет вид

Рис. 4.7

Соотношение (4.14) означает, что кривая, описываемая концом вектора на плоскости при изменении z вдоль контура совпадает по форме с кривой, описываемой концом вектора на плоскости при изменении s вдоль контура . Следовательно, об устойчивости импульсной системы (см. рис. 3.5) можно судить на основании (4.9), если располагать кривой Для построения этой кривой требуется найти контур который согласно (4.13) есть та кривая, в которую отображается контур плоскости s на плоскость

Точка плоскости s (см. рис. 4.6) отобразится в соответствии с (2.28) в точку плоскости z (рис. 4.7, а). Движение точки s вдоль прямой контура отобразится на плоскость z в движение вдоль окружности единичного радиуса против часовой стрелки (фаза вектора z увеличивается вследствие увеличения мнимой части, см. также § 2.5, свойство 2, п. «в»). Движение вдоль полупрямой отобразится в движение вдоль полупрямой , так как на всем этом отрезке (поэтому там изменяется от 0 до (поэтому изменяется от 1 до ).

Движение вдоль дуги отобразится в движение вдоль окружности бесконечного радиуса по часовой стрелке. Наконец, движение вдоль полупрямой отобразится в движение вдоль полупрямой . Таким образом, контур охватывающий по часовой стрелке правую полуполосу шириной плоскости s, отобразился в контур охватывающий (также по часовой стрелке) всю плоскость z, за исключением круга единичного радиуса.

Теперь можем проследить, как ведет себя функция при изменении z вдоль отдельных участков контура (исследовать кривую ).

Когда z меняется вдоль окружности то Так как

то

[см. (4.10), (4.11)]. Иными словами, вектор в этом случае не вращается.

Пусть при изменении z вдоль полупрямой Е от точки с к точке d вектор своим концом опишет некоторую кривую (см. жирную стрелку на рис. 4.7, б). Вследствие того, что переменная z должна изменяться вдоль всего контура ей предстоит принимать значения и вдоль прямой В от точки а к точке b. Иначе говоря, переменная z будет принимать те же значения, что и на отрезке Е, но в обратном порядке. Вследствие этого вектор функции своим концом пройдет по кривой но в обратном по отношению указанному жирной стрелкой направлении (см. штрихпунктирную стрелку на рис. 4.7, б). Отсюда суммарное изменение фазы вектора при движении z вдоль отрезков Е и В окажется равным 0.

Таким образом, все окончательные изменения фазы вектора при изменении z вдоль контура происходят, когда z принимает значения, которые соответствуют значениям окружности единичного радиуса А, т. е. когда становится функцией Следовательно, именно последняя функция должна сделать и оборотов вокруг своего начала координат, если исследуемая импульсная система устойчива в дискретные моменты времени, кратные

Но согласно (4.10), годограф функции

— это смещенная на единицу вправо z-амплитудно-фазовая частотная характеристика (z-АФЧХ) разомкнутой импульсной системы, так как кривая, описываемая концом вектора называется z-АФЧХ.

Причина такого названия в том, что кривая (полученная по z-передаточной функции) имеет ту же форму, что и кривая которая является АФЧХ импульсной разомкнутой системы (см. определение АФЧХ в [1]). Поэтому

— z-АФЧХ разомкнутой импульсной системы.

Итак, из (4.15) видно, что если рассматривать кривую относительно осей координат, образованных вещественной осью плоскости и смещенной на единицу вправо ее мнимой осью (см. пунктир на рис. 4.7, б), то она окажется z-АФЧХ разомкнутой системы (см. рис. 3.5). Обратно: точка с координатами плоскости (рис. 4.8) является началом координат для той координатной системы, в которой кривая становится кривой (Поэтому точка ) плоскости называется критической точкой.) В связи с чем число оборотов z-АФЧХ разомкнутой импульсной системы относительно критической точки равно числу оборотов кривой относительно ее начала координат.

Рис. 4.8

Теперь можно сформулировать -аналог критерию устойчивости Найквиста—Михайлова.

Если разомкнутая импульсная система (см. рис. 3.5) неустойчива и имеет передаточную функцию с к полисами, находящимися вне круга единичного радиуса, то для устойчивости этой импульсной системы в дискретные моменты времени, кратные в замкнутом состоянии необходимо и достаточно, чтобы z-АФЧХ разомкнутой системы охватывала критическую точку с координатами раз в положительном направлении.

Выводы 3,4 из примера 3.2 дают возможность утверждать, что с помощью -аналога критерия устойчивости Найквиста—Михайлова можно исследовать устойчивость в дискретные моменты времени, кратные импульсных систем и более общего, чем представленного на рис. 3.5, вида, но приближенно. Материал § 3.1 позволяет утверждать, что оба рассмотренных критерия позволяют точно исследовать устойчивость чисто импульсных систем.

Пример 4.2. С помощью -аналога критерию устойчивости Найквиста—Михайлова исследовать устойчивость импульсной системы (рис. 3.5), в которой

B соответствии с формулировкой критерия нужно располагать z-АФЧХ разомкнутой системы и зиать число полюсов ее -передаточной функции, расположенных вне круга единичного радиуса.

С учетом (3.8) получим

(см. табл. 2.1).

Рис. 4.9

Пусть , тогда и

Отсюда видно, что функция не имеет полюсов вне круга единичного радиуса (ее полюсы ), т. е. k = 0. z-АФЧХ разомкнутой импульсной системы есть функция [W(z)] — отображение круга единичного радиуса плоскости (рис. 4.9, а) на плоскость (рис. 4.9, б).

Из рис. 4.9, а видно, что векторы

Они представляют собой те значения сомножителей числителя и знаменателя в (4.17), которые входят в состав искомой z-АФЧХ при значении Иначе говоря, информация о векторе принадлежащем плоскости может быть получена путем перемножения или деления векторов А, В, D, Е, легко строищихся на плоскости . Поскольку точка выбрана на окружности единичного радиуса произвольно, указанный алгоритм получения сомножителей z-АФЧХ справедлив для любой ее точки . В связи с этим построение z-АФЧХ сводится к соответствующему перемножению (делению) этих векторов (рис. 4.9, б).

Операция перемножения (деления) векторов не совсем удобна из-за того, что она является не чисто графической, а графоаналитической: нужно измерить длины векторов, перемножить (разделить) полученные величины и отложить результат в направлении, которое определяется суммой (разностью) фаз векторов сомножителей (делимого и делителя). Поэтому z-АФЧХ чаще строят на основании (4.16), пользуясь (2.18) для дискретного преобразования Лапласа, при формальной замене s на

z-АФЧХ определяетси с высокой степенью точности функцией равной сумме конечного числа слагаемых, из выражения (4.18):

Рис. 4.10

Причиной этого факта является то, что полоса пропускания непрерывной системы ограничена, так и то, что z-АФЧХ есть функции лишь на интерввле частот от до [см. (4.18)]. (Амплитудная -частотная характеристика, соответствующая z-АФЧХ, выделена на рис. 4.10 жирной линией; относительно несовпадения кривых см. замечание 2.3.).

Пусть, например, . Так как , то

Если АФЧХ непрерывной части задана (см. сплошную линию на рис. 4.11), то для нахождения любой точки кривой достаточно сложить все три известных вектора, Например, для :

Проделав эту операцию для нужного числа точек, получим кривую (см. пунктир на рис. 4.11).

Выполним аналогичные построения при

Проведя вычисления в нужном числе точек [например, для точки получим кривую (штрихпунктир на рис. 4.11). Отсюда видно, что кривые и отличаются мало: следовательно, в формуле (4.19) можно принять тем более можно принять Поэтому можно считать, что функция в необходимой мере точно представляет z-АФЧХ.

Выполненная процедура и определяет содержание инженерного метода выбора величины

В данном случае z-АФЧХ имеет бесконечные ветвн при Это объясняется наличием в составе разомкнутой системы интегрирующего звена.

Рис. 4.11

Рис. 4.12

В теории непрерывных систем этот факт требует модернизации критерия устойчивости Найквиста—Михайлова применительно к случаю астатических систем [1], поскольку контур (см. рис. 4.6) проходит через особую точку функции (через полюс при и принцип аргумента для указанного контура несправедлив.

Модернизация получалась как следствие изменения контура на контур (рис. 4.12). который отличается от первого тем, что особая точка в начале координат обходится по дуге бесконечно малого радиуса Движению s вдоль дуги соответствует перемещение точки на плоскости вдоль дуги бесконечно большого радиуса по часовой стрелке на угол где v — число интеграторов в разомкнутой системе.

Требуется модернизация и в данном случае, так как точка является особой и здесь, а через нее проходит контур (см. рис. 4.6). Контур (рис. 4.12) отличается от контура (см. рис. 4.6) дугой бесконечно малого радиуса. Поэтому достаточно рассмотреть, как ведет себя функция астатической порядка системы на дуге чтобы с учетом уже известной информации составить представление о ее поведении на всем контуре

Согласно (2.18),

Так как значения контуре малы, то

Для астатической системы порядка , где — часть передаточной функции разомкнутой системы, не содержащая свободного сомножителя s.

Если

то

Представим вектор в показательной форме

Сравним полученное выражение с правой частью (4.21). В результате имеем

(размерность углов — в рад).

Остальные слагаемые бесконечной суммы (4.20) конечны, причем вследствие ограниченности полосы пропускания разомкнутой системы с удалением от члена налево и направо они все более убывают. Таким образом, определяющим в функции является слагаемое а оно, как следует из (4.22), представляет собой дугу бесконечно большого радиуса длиной радиан при движении по часовой стрелке.

Следовательно, в данном примере устойчивость, которую находим с помощью -аналога критерию устойчивости Найквиста—Михайлова, нужно определять не по z-АФЧХ, а по кривой, получаемой из z-АФЧХ добавлением к ней дуги радиан. В этом случае начало дуги совмещается с точкой и при движении по часовой стрелке ее конец попадает в точку (см. двойной штрихпунктир на рис. 4.11). Указанная операция выполняется аналогично тому, как это делается и в случае непрерывных систем (см. ). Поскольку и кривая, образованная штрихпунктирной и двойной штрихпунктирной линиями (см. рис. 4.11), не охватывает критической точки, то исследуемая система при устойчива и в замкнутом состоянии в дискретные моменты времени, кратные

Если принять k = 10, то z-АФЧХ, не меняя своей формы, расширится (векторы, соответствующие ее значениям при всех , увеличатся в 10 раз) и указанная кривая охватит критическую точку. Тогда замкнутая система окажется неустойчивой.