Глава 4. АНАЛИЗ УСТОЙЧИВОСТИ ДИСКРЕТНЫХ СИСТЕМ

Из [1] известно, что устойчивость линейной стационарной системы относительно начальных условий предопределяет, ее устойчивость относительно управления и, наоборот, таким образом, можно исследовать любой из указанных видов устойчивости.

Как было показано в § 3.2, z-передаточная функция импульсной системы дает точную (вывод 3 из примера 3.2) либо приближенную (вывод 4 из примера 3.2) информацию о связи ее входа и выхода в дискретные моменты времени. Поэтому, опираясь на -преобразование, можно исследовать только так называемую «устойчивость импульсной системы в дискретные моменты времени, кратные которая означает затухание переходного дискретного процесса (рис. 3.4 и 4.1, исключая пунктир).

Рис. 4.1

Но система, устойчивая в дискретные моменты времени, может оказаться неустойчивой. Этот факт хорошо иллюстрирует рис. 4.1, на котором показано, что затухающему импульсному переходному процессу у может соответствовать расходящийся непрерывный переходный процесс (пунктир). Это — так называемое явление скрытого раскачивания.

Для получения информации о процессах в моменты времени между моментами квантования предлагается ряд идей [7], одна из которых основывается на введении в математическую модель дискретной системы фиктивной временной задержки на время Эта идея реализована в методе так называемого «модифицированного -преобразования» . В модифицированном -преобразовании является параметром, который изменяется в диапазоне

В связи с этим — функция не только , но и :

Функция несет в себе информацию о значениях непрерывного сигнала только в моменты но с учетом условия, указанного в (4.1), — информацию обо всех его значениях.

Пользуясь аппаратом модифицированного -преобразования, различные авторы (например, [81) решают вопрос о точном исследовании некоторых импульсных (непрерывно-дискретных) систем. Другой подход к исследованию непрерывно-дискретных систем, см., например, в 110] гл. 3. В [8, 28, 29] приведены таблицы модифицированного -преобразования и достаточно подробно рассматриваются его свойства.

Однако в подавляющем большинстве практических случаев исследование устойчивости в дискретные моменты времени, кратные , дает результаты, совпадающие с результатами исследования устойчивости импульсных систем.

Импульсный элемент с амплитудно-импульсной модуляцией преобразует непрерывный сигнал в совокупность дельта-функций (см. § 1.2). Качественно это преобразование характеризуется скачкообразными операциями, приводящими к тому, что исходный процесс u*(t) из класса непрерывных процессов переходит в класс импульсных (дискретных) . Но количественная сторона преобразования подчинена линейному закону в том смысле, что для этого преобразования справедлив принцип суперпозиции: если то , а и b — постоянные величины. Такая линейность амплитудно-импульсной модуляции отразилась и в (2.18): дискретное преобразование Лапласа получается путем суммирования компонент, представляющих собой преобразование Лапласа непрерывного сигнала, сдвинутое по оси частот на величины, кратные значению .

Таким образом, импульсный элемент выполняет свою специфическую работу линейно. Это позволяет предположить, что известные алгоритмы исследования устойчивости линейных непрерывных систем при соответствующей корректировке этих алгоритмов можно использовать для определения устойчивости импульсных линейных систем.

Действительно, существует несколько критериев устойчивости импульсных систем, которые являются аналогами критериям устойчивости непрерывных систем. В качестве примера рассмотрим некоторые из них.