4.3. z-АНАЛОГИ АНАЛИТИЧЕСКИМ КРИТЕРИЯМ УСТОЙЧИВОСТИ

Пусть задан z-характеристический полином импульсной системы

функция

системы устойчивой в дискретные моменты времени, кратные должна содержать все нули в ЛПП плоскости s. Тогда, согласно свойству 2, п. «в» § 2.5, функция устойчивой импульсной системы должна содержать все нули внутри круга единичного радиуса.

Известные из непрерывного линейного анализа аналитические критерии по коэффициентам полинома позволяют установить тот факт, что все его корни расположены в ЛПП плоскости корней. Очевидно, эти критерии можно использовать и в нашем случае, если с помощью какой-то замены переменных от полинома (4.23) перейти к другому полиному, у которого ЛПП новой переменной соответствует кругу единичного радиуса на плоскости переменной . Такая замена существует [4]:

Правда, полином (4.23) в результате замены (4.25) превращается в дробно-рациональное выражение относительно переменной w. Но корням полинома отвечают нули функции т. е. корни ее числителя, представляющего собой полином относительно переменной w. Например, для случая когда

где

Круг единичного радиуса переменной отображается в ЛПП новой переменной s также и заменой переменной согласно (4.24), но полином (4.23) после замены переменной (4.24) оказывается по отношению к s уже не полиномом.

Таким образом, аналитические критерии, например критерий Гурвица, в котором используются коэффициенты полинома числителя функции позволяет исследовать устойчивость в дискретные моменты времени, кратные исходной импульсной системы. Иначе говоря, указанный критерий является -аналогом аналитическому критерию устойчивости Гурвица. Поскольку коэффициенты полинома числителя функции есть известные функции коэффициентов исходного полинома [см., например, (4.27)], то условия, входящие в z-аналог критерию устойчивости Гурвица, могут быть выражены через коэффициенты исходного полинома ), после чего он станет z-аналогом этому критерию.

Для например, нужно рассматривать [см. (4.26)] полином Необходимые и достаточные условия устойчивости системы с указанным характеристическим полиномом, которые являются необходимыми и достаточными условиями устойчивости в дискретные моменты времени, кратные исходной импульсной системы с -характеристическим уравнением таковы (см. ):

Эти условия с помощью соотношений (4.27) выразим через коэффициенты исходной системы. В результате получим

Ниже приведены аналогичным образом полученные условия для импульсных систем 2-го и 3-го порядков [5]: