2.3. СВЯЗЬ СПЕКТРОВ ДИСКРЕТНОГО и НЕПРЕРЫВНОГО СИГНАЛОВ

Дискретное преобразование Лапласа функции является функцией периодической с периодом Для доказательства этого факта достаточно показать, что

Рассмотрим . Согласно (2.18), имеем

Введем новый индекс суммирования . Тогда и согласно (2.18),

что и требовалось доказать.

Из анализа непрерывных систем [1] известно, что если в преобразовании Лапласа функции сделать формальную замену на , то получим преобразование Фурье этой функции описывающее комплексный спектр сигнала где — амплитудный частотный спектр; — фазовый частотный спектр.

Рис. 2.3

По аналогии в случае исследования импульсных систем [см. (2.18)] имеем

Компоненты-слагаемые частотного комплексного спектра импульсного сигнала образуются смещением по частоте комплексного частотного спектра непрерывного сигнала на величины, кратные .

Замечание 2.3.1. Компоненты-слагаемые можно получить также смещением по частоте амплитудного и фазового спектров на величины, кратные например, рис. 2.3, пунктир). Однако следует помнить, что амплитудный (фазовый ) частотный спектр суммы компонент получают не путем сложения амплитудных (фазовых ) частотных спектров слагаемых, а в результате векторного суммирования на комплексной плоскости

Рис. 2.4

Определять амплитудный частотный спектр суммы комплексных частотных спектров опираясь только на их амплитудные частотные спектры можно лишь в двух частных случаях:

а) если намного меньше например на порядок, тогда при любой фазовой характеристике имеем (рис. 2.1). Поэтому .

б) если фазовые частотные спектры , тогда (см. рис. 2.3, сплошную линию).

Однако рисунки типа рис. 2.3 часто бывают удобны для иллюстрации изложения. Например, с помощью рис. 2.5 наглядно иллюстрируется физический смысл вытекающего из теоремы Котельникова ограничения на шаг квантования по времени

Рис. 2.5

Рис. 2.6

Замечание 2.3.2. Указанное ограничение обеспечивает отсутствие потерь информации при переходе от непрерывного сигнала ширина спектра которого конечна, к импульсному сигналу , т. е. (2.20) представляет собой ограничение, при соблюдении которого совокупность дискретных значений непрерывного сигнала содержит полную информацию для его точного по ней восстановления. Действительно, из рис. 2.5 видно, что условие (2.20) эквивалентно требованию отсутствия наложения соседних кривых, изображающих компоненты — слагаемые спектра импульсного сигнала.

В этом случае форма функции в пределах любого ее периода точно сохраняет форму спектра непрерывного сигнала. Отсюда следует: пусть имеется низкочастотный фильтр с амплитудной частотной характеристикой (см. пунктир на рис. 2.5) и нулевой фазовой частотной характеристикой, пропускающий без искажения только компоненту-слагаемое, соответствующую нулевому смещению.

Если на вход этого фильтра подать импульсный сигнал u(t), удовлетворяющий условию (2.20), то на его выходе точно воспроизведется непрерывный сигнал u(t).

Чем сильнее нарушается условие (2.20), тем резче форма одного периода спектра отличается от формы кривой (см. соответственно жирную линию и жирный пунктир на рис. 2.6), в силу чего возможность в принципе даже приблизительно восстановить сигнал u(t) по сигналу u(t) становится все меньшей. По поводу несовпадений кривой и кривой (соответственно штрихпунктира и сплошной линии на рис. 2.6) см. замечание 2.3 (обратить внимание на фазовый частотный спектр сигнала ), изображенный под амплитудным частотным спектром на рис. 2.6).