3.2. ПЕРЕДАТОЧНАЯ ФУНКЦИЯ ПРОИЗВОЛЬНОЙ ИМПУЛЬСНОЙ СИСТЕМЫ

Пусть произвольная импульсная система задана структурной схемой, представляющей собой совокупность стандартных соединений из простейших импульсных систем (соединений типа обратная связь, последовательных и параллельных). Тогда, чтобы получить передаточную функцию этой системы, достаточно уметь находить передаточную функцию стандартных соединений по передаточным функциям соединяемых импульсных систем, так как последние известны (либо точно, либо приближенно) (см. § 3.1).

Рис. 3.2

Соединения чисто импульсных систем.

Формулы для вычисления -передаточных функций стандартных соединений чисто импульсных систем по z-передаточным функциям соединяемых чисто импульсных элементов совпадают с аналогичными формулами из теории непрерывных систем. Это совпадение происходит потому, что структура формулы (3.9) совпадает со структурой аналогичной формулы из теории непрерывных систем формула (3.9) описывает работу чисто импульсной системы точно.

Пример . Найти z-передаточную функцию чисто импульсной системы, заданной структурной схемой (рис. 3.2).

С учетом (3.9) из структурной схемы, изображенной на рис. 3.2, получаем:

Подставим последнее выражение в первое:

Отсюда

(сравнить с известной формулой из теории непрерывных систем [1, 12]).

Соединения импульсных систем.

Пример 3.2. Пусть импульсная система представлена структурной схемой (см. рис. .3.3, без учета пунктира и штрихпунктира). Тогда

Если нужно определить дискретные значения выхода (см. фиктивный синхронный ключ на выходе — пунктир на рис. 3.3), то способом, аналогичным тому, который использовался при выводе (3.7), получим, связь:

Рис. 3.3

Рис. 3.4

Рассмотрим другую систему (рис. 3.4, без учета пунктира), которая отличается от предыдущей лишь местом расположения ключа. Для нее

При фиктивном ключе (см. пунктир на рис. 3.4)

Из полученных в этом примере соотношений можно сделать выводы.

Вывод 1. Вид аналитической связи входа как с непрерывными [см. (3.10), (3.12)], так и с дискретными [см. (3.11), (3.13)] значениями выхода произвольной импульсной системы существенно зависит от места расположения ключа.

Вывод 2. Для произвольной импульсной системы, как и для простейшей, которая описана в 3.1, не удается получить характеристику, аналогичную передаточной функции, которая связывает вход и выход во все моменты времени. Не удается получить подобной характеристики, которая связывает вход и выход и в дискретные моменты времени, кратные , что для простейшей импульсной системы сделать удалось (см. § 3.1). Это видно из соотношений соответственно (3.10), (3.12) и (3.11), (3.13).

Вывод 3. Для некоторых частных случаев соединений импульсных систем, например для импульсной системы, структурная схема которой представлена на рис. 3.5 (без пунктира), удается найти передаточную функцию, связывающую вход и выход в дискретные моменты времени, кратные . Действительно, из (3.10) при следует Но тогда [см. вывод формулы (3.7)]

Отсюда

или

Структура связи z-передаточной функции разомкнутой и замкнутой систем в данном случае такая же, как и в теории непрерывных систем.

Следует отметить, что это хотя и частный случай, но он имеет очень большое практическое значение, так как к нему приводятся многие системы из класса импульсных следящих систем.

Вывод 4. Для получения удобного выражения, аналогичного z-передаточной функции в случае произвольной импульсной системы (см., например, рис. 3.3), требуется вводить синхронные фиктивные ключи не только на выходе системы (см. пунктир на рис. 3.3), но и в других ее точках (см., например, штрихпунктирвый участок вместо сплошного на рис. 3.3). Тогда

и формулы (3.10), (3.11) примут соответственно такой вид:

Отсюда

и, следовательно,

Последствия от введения ключей, изображенных на рис. 3.3 штрихпунктиром и пунктиром, существенно различны, так как последний не меняет характера работы всей системы, он просто дает информацию о ней в дискретные моменты времени.

Рис. 3.5

Первый же, преобразуя в импульсный тот непрерывный сигнал, который поступает на звено обратной связи, превращает исходную систему совсем в другую. Эта новая система достаточно хорошо сможет представлять работу исходной системы, если принять (см. § 5.4) и если

1) выполняются условия теоремы Котельникова (2.20);

2) полоса пропускания звена обратной связи меньше :

где — частота среза звена обратной связи;

3) амплитудная частотная характеристика (АЧХ) звена в районе частоты среза уменьшается достаточно круто (см. рис. 3.6).

Рис. 3.6

Тогда через звено обратной связи проходит только та часть спектра импульсного сигнала , которая соответствует непрерывному сигналу .

Таким образом, формула (3.16) в общем случае только приближенно представляет работу исходной системы даже в дискретные моменты времени. Причем она делает это тем точнее, чем надежнее выполняются условия (2.20), (3.17) и условия крутого спада амплитудно-частотной характеристики для звена, нормальная работа которого нарушена фиктивным ключом.

Итак, с помощью z-преобразования можно точно исследовать работу чисто импульсной системы; с помощью преобразования Лапласа — точно исследовать работу непрерывной системы.

Импульсную систему с помощью одного (любого) из этих преобразований удается исследовать только приближенно, да и то при соблюдении некоторых условий. Причиной тому является наличие в импульсной системе как непрерывных, так и импульсных сигналов (поэтому такие импульсные системы являются непрерывноимпульсными и их иногда называют непрерывно-дискретными). В связи с этим преобразование Лапласа, удобное при оперировании с непрерывными сигналами, становится неудобным, когда дело доходит до дискретных сигналов. Удобное же для дискретных сигналов z-преобразование неудобно для непрерывных.

Рис. 3.7

Рис. 3.8

Так в данном случае проявляется отмеченный еще в апориях [21 элейского философа Зенона факт невозможности непротиворечивого представления непрерывного через дискретное, и наоборот. Для точного исследования непрерывно-дискретных, т. е. импульсных систем, нужна специальная теория, которая здесь не рассматривается.

Пример 3.3. Требуется исследовать переходный процесс по напряжению в простейшей импульсной системе (рис. 3.7) с помощью -преобразования,

В соответствии с операторным методом, при нулевых начальных условиях для непрерывной части имеем:

где — преобразования Лапласа от тока входного и выходного напряжений соответственно.

Передаточная функция непрерывной части системы где — постоянная времени.

Принципиальной схеме системы (рис. 3.7) соответствует структурная схема, приведенная на рис. 3.8 (без учета пунктира), где Поскольку требуется определить переходный процесс , должно быть Из табл. 2.1 находим где . Тогда согласно (3.9)

Днскретная переходная функция соответствует обратному -преобразованию , для удобства выполнения которого представим функцию в виде суммы элементарных слагаемых. Это можно бы приняла бы вид

где — известные постоянные.

Но для -преобразования характерными являются не такие слагаемые, а слагаемые вида . К ним можио прийти, если представить так:

а затем разложить на элементарные слагаемые типа (3.18) функцию (порядок полинома числителя которой меньше порядка полинома знаменателя). В данном случае

Следовательно,

Из табл. 2.1 находим

Индекс в обозначении фиктивного переходного процесса введен для исключения возможной ошибки принять этот сигнал за истинную непрерывную переходную функцию исследуемой системы. Этот процесс (см. пунктир на рис. 3.9) не является истинным непрерывным переходным процессом и не обязательно близок к нему, однако имеет значения, совпадающие со значениями истнииого переходного процесса в дискретные моменты времени, кратиые

Это свойство любой функции, найденной из -преобразования (см. замечание 2.5). Отсюда, если для расчета системы используется -преобразование, на ее выходе нужно сразу ставить фиктивный ключ (см. пунктир на рис. 3.8).

Тем самым подчеркивается невозможность получить информацию о значениях функции в моменты времени между из ее обычного -преобразования.

Для оценки степени различия кривых определим непрерывный переходный процесс для системы, изображенной на рис. 3.8, исключая пунктир. В даииом простейшем случае это легко сделать. Действительно, на вход непрерывной части воздействуют модулированные по площади дельта-функции, образующие сигнал На воздействие каждой из дельтафункций система отзывается реакцией, которая представляет собой импульсную переходную функцию умноженную на площадь этой дельта-функции.

Известно [1], что

(рис. 3.10). Поэтому имеет такой вид, как на рис. 3.9 жирная линия.

С инженерных позиций непонятно появление в мгновенных, величиной а, скачков выходного сигнала реальной инерционной системы. Причиной этих скачков в данном случае является ИПФ, а ИПФ, хотя и представляет собой реакцию реальной системы, но реакцию на нереальный входной сигнал — дельта-функцию. Реальный сигнал — импульс прямоугольной формы единичной площади (рис. 3.11) - можно считать реальной моделью дельта-функции для данной системы, если этот импульс для нее достаточно узкий:

где — наименьшая из постоянных времени системы.

Рис. 3.9

Рис. 3.10

Все более узкие и соответственно все более высокие (чтобы сохранить площадь равной единице) импульсы (рис. 3.11) представляют собой все более строгие реальные модели дельта-функции.

Импульс может быть представлен как сумма двух ступенчатых воздействий (рис. 3.12):

Тогда реакция непрерывной части (рис. 3.12) на этот импульс выражается через переходную функцию непрерывной части :

Вычислим, на какую величину успевает возрасти сигнал за время действия импульса. Из рис. 3.12 следует

Но из этого же рисунка видно, что на интервале функция изменяется по закону, который очень близок к линейному:

Тогда

Рассуждая аналогично для случая , получим

Иными словами, за время, равное длительности любого, достаточно узкого [в смысле условия, установленного (3.19)] импульса единичной площади сигнал на выходе всегда успевает измениться на значение а. Поскольку дельта-фуикция и представляет собой такой импульс, только бесконечно узкий, ) изменяется на величину а скачком. Учитывая характер кривой [см., например, кривую на рис. 3.12], можем сказать, что реальный непрерывный переходный процесс с учетом времени замыкания ключа описывается штрихпунктиром (см. рис. 3.9).

Рис. 3.11

Рис. 3.12

Если при работе импульсного элемента с конечным временем замыкания ключа в силу, например, конструктивных ограничений единичной входной ординате в соответствие ставится импульс, площадь которого отлична от единицы, то кривая истинного реального непрерывного переходного процесса раз отличается от кривой .