Глава 3. ПЕРЕДАТОЧНАЯ ФУНКЦИЯ ДИСКРЕТНОЙ СИСТЕМЫ

Поскольку использование понятия передаточной функции в случае непрерывных САР оказалось очень удобным при их исследовании, попытаемся ввести аналогичное понятие для импульсных систем.

3.1. ПЕРЕДАТОЧНАЯ ФУНКЦИЯ ПРОСТЕЙШЕЙ ПО СТРУКТУРЕ ИМПУЛЬСНОЙ СИСТЕМЫ

Рассмотрим простейшую импульсную систему (рис. 3.1, исключая пунктир и штрихпунктир), состоящую из ключа с периодом замыкания и непрерывной части с передаточной функцией . Согласно определению передаточной функции, при нулевых начальных условиях, имеем

Так как на входе непрерывной части действует импульсный сигнал. С учетом (2.18) нетрудно связать преобразования Лапласа входа (непрерывного) и выхода (непрерывного) всей системы:

Но получить из этого равенства характеристику, аналогичную передаточной функции, которая описывает при нулевых начальных условиях связь между , не удается. Действительно, из этого равенства получим

Выражение в правой части, которое, по определению, должно играть роль искомой передаточной функции, оказывается зависящим не только от параметров описываемой системы (как должно было бы быть с точки зрения традиционного понятия передаточной функции), но и от входного сигнала.

Рис. 3.1

Достаточно просто найти динамическую характеристику типа передаточной функции для чисто импульсной системы. Поэтому от исходной системы переходим к фиктивной чисто импульсной системе, которая получается путем добавления на выход фиктивного ключа, работающего синфазно с основным ключом (это и обозначает на рис. 3.1 штрихпунктирная связь между ключами). Выходной сигнал этой фиктивной системы совпадает с выходным сигналом исходной системы (см. рис. 3.1, исключая пунктир) в дискретные моменты времени, кратные . Таким образом, исследование фиктивной чисто импульсной системы в данном случае дает верную, но не полную информацию о поведении исходной системы.

Поскольку выходной сигнал фиктивной системы чисто импульсный, то

С учетом (3.1):

Из-за периодичности дискретного преобразования Лапласа (2.3): и первый сомножитель под знаком суммы в (3.2) перестает зависеть от индекса суммирования. Теперь его можно вынести за знак суммы:

Согласно (2.18),

где — дискретное преобразование Лапласа той функции, преобразование Лапласа которой есть .

Известно [1], что

Поэтому есть дискретное преобразование Лапласа функции — ИПФ непрерывной части системы).

Но тогда [см. (2.25)]

Аналогия выражения (3.6) с (3.5) дает право трактовать функцию как передаточную функцию чисто импульсной системы (см. рис. 3.1 с учетом пунктира). Такой же вывод позволяет сделать и формула

которую легко получить из (3.3), если учитывать равенство (3.4), т. е. из

Из (3.7) видно, что оказывается отношением дискретного преобразования Лапласа выхода чисто импульсной системы к дискретному преобразованию Лапласа ее входа при нулевых начальных условиях (см. определение понятия передаточной функции непрерывной линейной системы [1]). Аналогия с передаточной функцией в данном случае еще более близкая, поскольку являются также и преобразованием Лапласа входа и выхода такой системы.

Если в (3.6) и (3.7) сделать замену переменной на , то придем к понятию -передаточной функции:

Выражение (3.8), как и , точно описывает связь выделенных координат чисто импульсной системы при нулевых начальных условиях.

Выражение (3.8) описывает приближенно поведение простейшей импульсной системы (рис. 3.1 без учета пунктира), давая информацию об ее поведении только в дискретные моменты времени, кратные

Из (3.8) следует основная формула метода -передаточных функций