7.4. УЧЕТ ВЛИЯНИЯ ЭФФЕКТА ОТ КВАНТОВАНИЯ ПО УРОВНЮ БЕЗ УЧЕТА КВАНТОВАНИЯ ПО ВРЕМЕНИ МЕТОДОМ ФАЗОВОЙ ПЛОСКОСТИ

Встроенные ЦВМ часто имеют небольшое число разрядов в процессоре, сохраняющем довольно высокое быстродействие, если он выполнен на основе современных элементов. В этих условиях можно пренебречь эффектом от квантования по времени в сравнении с эффектом от квантования по уровню. Тогда система с ЭВМ может рассматриваться как некоторая непрерывная система с нелинейностью типа рис. 7.1. В силу этого система относится к классу нелинейных систем, исследование которых проводится с помощью ряда специфических методов, например метода фазовой плоскости [1 ,12].

Рис. 7.14

Исходная система (без ЭВМ) — релейная следящая система. Рассмотрим сначала исходную систему (без ЭВМ), которая представляет собой релейную следящую систему (рис. 7.14). Построим ее фазовый портрет 11, 121.

Уравнения линейной прямой цепи: .

Пусть . Тогда, выбрав в качестве фазовых координат получим уравнение фазовых траекторий

(7.9)

после интегрирования которого, для случая имеем

— уравнение семейства фазовых траекторий. Определив значение для точки по уравнению при изготовим шаблон, который очень удобен при построении фазового портрета системы, тем более, что при . С фазовый портрет строится с помощью того же шаблона, повернутого на тыльную сторону относительно линии, перпендикулярной оси .

Уравнение линии переключения (рис. 7.14). Так как

то

(рис. 7.15). Из рис. 7.15 видно, что координаты точки А (Б), где наклон касательной к фазовой траектории равен наклону [см. (7.9) и (7.11)], [из (7.11)]. При попадании фазовой траектории на ЛП. начиная с точки А (Б) и ближе к началу координат (см., например, точку В на рис. 7.15), переключение вызывает движение. которое ведет в область фазового пространства, где k должно иметь противоположное по знаку значение, поэтому сразу же происходит обратное переключение сигнала которое заставляет двигаться по фазовым, траекториям, приводящим систему опять на ЛП, но тогда нужно опять переключать и т. д.

Рис. 7.15

Таким образом, начинается режим непрерывных переключений, в результате которых, если пренебречь временем срабатывания реле, изображающая точка системы движется вдоль ЛП — скользит вдоль нее, отсюда название — скользящий режим. Фазовые координаты системы в скользящем режиме изменяются по закону ЛП:

Если ЛП — прямая линия, то нелинейная система второго порядка в скользящем режиме ведет себя как линейная система первого порядка. Переходный процесс, соответствующий движению системы в скользящем режиме из точки В. представлен на рис. 7.16 , где .

Реализация релейного регулятора на ЭВМ.

Из рис. 7.14 и выражения (7.10) видно, что в данном случае регулятор реализует закон регулирования

(7.2)

Этот регулятор может быть построен на ЦВМ следующим образом К датчикам положения и скорости объекта нужно подсоединить преобразователи Н-Д из устройства сопряжения с объемом (УСО) машины, которые осуществят квантование этих сигналов по уровню (рис. 7.17) (шаг квантования по уровню преобразователя квантованием по времени, как и договора лись. пренебрегаем). Здесь — цифры, отражающие величину сигналов соответственно .

Каждый из преобразователей Н-Д. изменяя на выходе цифру на единицу при изменении входа на осуществляет, таким образом, помимо дискретизации сигнала еще и его масштабирование с коэффициентом

Рис. 7.16

Для компенсации этого масштабирования после каждого преобразователя Н—Д нужно ставить усилители с коэффициентом (рис. 7.17), которые вместе с инверторами и сумматором реализуются на процессоре ЦВМ (сигнал есть представленные в ЦВМ сигналы объекта). Здесь же реализуется операция (7.12) из закона регулирования (см. элемент на рис. 7.17). Сигнал с процессора подается на преобразователь Д-Н из устройства сопряжения с объектом. Пусть скомпенсирован соответствующим изменением коэффициента передачи объекта, тогда можно считать, что влияние ЦВМ в этом случае сводится только к дополнительному квантованию сигналов по уровню преобразователями НД, и

Фазовая траектория свободного движения релейной системы (рис. 7.14) из положения при представлена сплошной кривой на рис. 7.18.

Рассмотрим, как влияет использование в системе ЭВМ на методику анализа первой с помощью фазовой плоскости.

Ввиду того, что в САР рис. 7.17 ЛП реализуется ЦВМ, уравнение с учетом (7.13) имеет вид :

Из-за квантования по уровню переменная (аналогичное утверждение справедливо и для переменной ) сохраняет постоянное значение, равное (см. точки на осях рис. 7.18), при любых значениях переменной изменяющихся в диапазоне [30].

Значение меняется скачком на соседнее, когда величина переходит границу указанного интервала. На рис. 7.18 эти интервалы отмечены фигурными скобками, при которых стоят значения, принимаемые здесь дискретизированными переменными (в данном случае, как это видно из рис. 7.17. . Через концы интервалов проведены параллельно осям координаты линии, образующие сетку границ, пересечение которых фазовой траекторией системы отвечает перескакиванию изображающей точки машинного представления фазового состояния системы (с помощью координат ) в новую, соответствующую интервалу этой границы точку.

Рис. 7.17

Поэтому, во-первых, линия фазовой траектории системы рис. 7.18 отображается цифровой ВМ совокупностью точек в каждой из которых ЦВМ находится в течение времени, пока фазовая трактория системы не пересечет какую-нибудь прямую сетки границ (в области пересечения эти границы отмечены на рис. 7.18 жирными отрезками; — см. жирные точки на рис. 7.18; х — см. пунктир на этом рисунке). Далее, пока переменная принадлежит интервалу 0, дискретная переменная Согласно (7.14), переменная для в этом случае должна быть также равна нулю. Как только попадает на интервал из (7.14) следует, что для должна стать равной — , и останется такой все время, пока находится внутри этого интервала (интервала ) и т. д., т. е., во-вторых. ЛП, реализованная ЦВМ, принимает ступенчатый вид (см. рис. 7.18). В силу этого фазовая траектория системы рис. 7.17 и отличается от фазовой траектории системы рис. 7.14, в частности на интервале фазовой траектории x появляется оригинальный скользящий режим.

Если менять соотношение величин шагов квантования по уровню для сигналов то . изменяя свою форму, будут представлять ступенчатой линией все ту же исходную ЛП (см. рис. 7.19, где изображены для случаев:

Рис. 7.18

Как видно из рис. 7.19, для случаев б и в совпали; отличаться будут только сетки границ изменения сигналов , т. е. в случаях б и в будут отличаться фазовые траектории величинами скачков по координате .

Моделирование на ЭВМ следящей системы с реализованным на ЭВМ регулятором. Рассмотрим теперь модель системы рис. 7.17, целиком реализованную на ЦВМ.

Тогда и координаты объекта представятся дискретными модельными переменными сформированными из первых с помощью квантования по уровню с шагом Лцвм . Пусть, например, .

Теперь среди рассматриваемых координат нет ни одной недискретизированной, отчего, во-первых, для модели на ЦВМ нет ни одной непрерывной фазовой траектории и, во-вторых, трансформируется понятие линии переключения.

Рис. 7.19

Вспомним, что ЛП — это совокупность таких точек на фазовой плоскости, где производится изменение знака сигнала , т. е. где сигнал переходит через значение ноль. В нашем случае множество точек, где , отвечает не линии, а целой многосвязной области — несколько прямоугольных листов, заштрихованных на рис. 7.20. Действительно, в соответствии с (7.13) имеем

Согласно этому выражению и получены указанные, а также другие листы фазовой плоскости. В углах листов указаны величины, которым равно на данном листе. Из рис. 7.20 видно, что на жирной линии значение , также переходит через 0, поэтому в модели системы, реализованной на ЦВМ, жирная линия и нулевые листы играют теперь роль ЛП.

На рис. 7.20 в масштабе 2 : 1 представлена фазовая траектория модели системы рис. 7.17, начинающаяся в точке (-2,0) (см. финальную часть траектории рис. 7.18).

Рис. 7.20

Следует отметить, что изображенная на рис. 7.20 тонкой сплошной линией траектория фиктивна в том смысле, что самой системой мы в данном случае не располагаем, а в модели системы недискретизированных координат нет. Здесь считаем, что на границе листов сохраняется закон движения предыдущего листа (см. характеристику элемента sign на рис. 7.17). Три последние точки фазовой траектории модели системы жирные, так как они представляют режим автоколебаний амплитуды .