5.5. ДИСКРЕТИЗИРОВАННАЯ МОДЕЛЬ ЛИНЕЙНОЙ НЕПРЕРЫВНОЙ СИСТЕМЫ В ОБЛАСТИ ВРЕМЕНИ

В предыдущем параграфе рассматривался вопрос о представлении непрерывной системы дискретной на основе аппарата преобразования Лапласа, и -преобразований. Здесь рассмотрим специфику представления непрерывной системы дискретной в области времени.

Дискретизированная модель линейной непрерывной системы, представленной описанием «вход-выход». Пусть некоторую непрерывную динамическую систему (см. рис. 1.1), описываемую, например, обыкновенным линейным дифференциальным уравнением с постоянными коэффициентами

требуется промоделировать или реализовать на ЦВМ. ЦВМ — чисто дискретное устройство, шаг квантования по времени которого определяется быстродействием ЦВМ. Поэтому с помощью ЦВМ можно реализовать только чисто дискретную модель системы с указанным

К чисто дискретной модели системы (5.48) можно перейти, например, следующим образом. Известно, что производная

Так как в чисто дискретной модели приращение времени не может быть меньше величины производную в этой модели в любой момент времени, в том числе и в момент можно представить только приближенно:

Здесь

называется первой разностью функции (см. гл. 2). В силу этого от исходной системы (5.48) перейдем к новой системе — дискретной. Указанная дискретная система приближенно описывает исходную уравнением

в котором вместо производной фигурирует первая разность. Такое уравнение называется дискретно-разностным первого порядка.

Если бы в исходном уравнении присутствовала вторая производная, то ее аналогично предыдущему случаю можно было представить так:

Выражение в числителе — приращение первой разности функции у(t). Его называют второй разностью функции и обозначают . Таким образом.

а в приближенном описании типа (5.49) такой непрерывной темы фигурировали бы и первая, и вторая разности.

Продолжая этот процесс, легко непосредственно убедиться, что с помощью рассмотренного приема от линейного стационарного обыкновенного дифференциального уравнения порядка придем к линейному стационарному дискретно-разностному уравнению такого же порядка.

Приближенная дискретная модель (5.49) системы (5.48) соответствует такой системе, в которую превратилась бы система (5.48), если бы ее работа стала зависеть только от дискретных моментов времени, кратных , т. е. если бы система (5.48) стала вдруг чисто дискретной. Модель (5.49) называется поэтому дискретизированной моделью системы (5.48). Она не является аналогом в области времени импульсной системы, отвечающей -передаточной функции , где

— передаточная функция системы (5.48), так как в модели (5.49) предполагается ступенчатый (а не импульсный) характер изменения ее сигналов, отчего она, вероятно, связана с той дискретной системой, которая отвечает приближенной -передаточной функции непрерывной системы . Убедиться в этом нетрудно следующим образом.

Согласно (5.50),

которой соответствует дискретно-разностное уравнение

С учетом (5.42)

соответствующее уравнение

Имея в виду разложение [4]

и считая, что достаточно мало, чтобы представить двумя первыми членами ряда, из выражений (5.51), (5.52) соответственно получим

(5.53)

Из сравнения выражений (5.53) и (5.54) с (5.49) видно, что дискретизированная система (5.54), отвечающая , формирует первую разность своего выходного сигнала из предыдущих (а не из текущих, как система (5.49)), дискретных значений сигналов, но по тому же, что и система (5.49), закону. Алгоритм же работы модели (5.53) существенно отличается от алгоритма работы модели (5.49) за счет сильного увеличения влияния в нем входного сигнала.

Так как система (5.49) близка к системе, соответствующей при ближенной -передаточной функции непрерывной системы , она [в отличие от модели (5.53)] обладает свойством при переходить в модель непрерывной системы (5.48), однако при конечном , дискретные значения ее выходного сигнала хотя и близки, но в общем случае отличны от значений выходного сигнала исходной системы в те же моменты времени .

В этой связи возникает желание получить дискретную модель системы (5.48), близкую к системе, соответствующей , у которой значения выходного сигнала совпадают со значениями выходного сигнала непрерывной системы (5.48) в соответствующие дискретные моменты времени:

Из уравнения (5.48) имеем

Проинтегрировав левую и правую части полученного соотношения в пределах от до , получим точное приращение выходной координаты на этом интервале. Следовательно, можем записать точное значение :

На основании этого уравнения составим модель для точных дискретных значений выхода системы (5.48):

или

Из (5.55) и (5.56) видно, что найденная модель не может быть реализована в рамках чисто дискретного устройства, так как для ее построения требуется располагать всеми значениями входного и выходного сигналов системы (5.48) на интервале . В ЦВМ же имеется информация о входном и выходном сигналах лишь в моменты, кратные , но тогда модель (5.56) вырождается в модель (4.49).

Правда, если известна какая-нибудь динамическая характеристика системы (5.48). например ее ИПФ , то

В ЦВМ сигнал и на этом интервале может быть равен только и . Поэтому

и

Под интегралы входит непрерывная, однако заданная функция, поэтому результат интегрирования представляет собой известное число , которое может быть вычислено заранее вне моделирующей ЦВМ:

После этого уточненная дискретизированная модель системы (5.48) примет вид [см. (5.55)]

Дискретизированная модель линейной непрерывной системы в пространстве состояния. Пусть исходная непрерывная линейная стационарная система представлена в пространстве состояния [3, с. 340—377]:

где — векторы соответственно состояния (л-вектор), управления (-вектор), выхода (-вектор); А, В, С — известные постоянные прямоугольные матрицы соответственно системы [размера управления [размера , выхода [размера ]. Тогда, опираясь на соотношение

получим дискретизированную модель типа (5.49) для системы (5,58)

Точную дискретизированную модель типа (5.55) можно получить, если известна, например, матрица перехода системы (5.58). Здесь - момент начала работы системы. Действительно,

Учитываем, что в ЦВМ

Тогда для имеем

Выполним замену переменной интегрирования: ; тогда

— известная числовая матрица, которая может быть вычислена заранее вне моделирующей ЦВМ. Теперь уточненная дискретизированная модель типа (5.57) системы (5.58) примет вид