1.4 Преобразования Лапласа и Лапласа - Стилтьеса. Производящая функция

В теории массового обслуживания интенсивно используется аппарат преобразований Лапласа и Лапласа - Стилтьеса и производящих функций. В частности, выше мы уже упомянули о возможности использования преобразований Лапласа для сведения задачи решения системы линейных дифференциальных уравнений к решению системы линейных алгебраических уравнений. Приведем основные сведения об этих функциях и преобразованиях.

Определение 13. Преобразованием Лапласа - Стилтьеса распределения будем называть функцию определяемую следующим образом:

а преобразованием Лапласа - функцию определяемую как:

Если s есть чисто мнимая переменная, преобразование Лапласа - Стилтьеса совпадает с характеристической функцией распределения Областью определения функций обычно считается правая полуплоскость комплексной плоскости. Однако, без существенного ограничения общности, в рамках данной главы и книги можно рассматривать s как действительное положительное число.

Отметим некоторые из свойств преобразования Лапласа - Стилтьеса.

Свойство 1. Если оба преобразования существуют (то есть, соответствующие несобственные интегралы сходятся), то они связаны между собой следующим образом:

Свойство 2. Если две независимые случайные величины имеют преобразования Лапласа - Стилтьеса их функций распределения, то преобразованием Лапласа - Стилтьеса функции распределения суммы этих величин является

Свойство 3. Преобразованием Лапласа - Стилтьеса производной функции является .

Свойство 4.

Свойство 5. Пусть есть начальный момент распределения: Он вычисляется через преобразование Лапласа - Стилтьеса следующим образом:

Свойство 6. Преобразованию Лапласа - Стилтьеса может быть придан вероятностный смысл следующим образом. Считаем, что есть функция распределения длины некоторого интервала времени и в этом интервале времени поступает простейший поток «катастроф» с параметром . Тогда легко видеть, что есть вероятность того, что за интервал не наступит ни одна «катастрофа».

Свойство 7. Преобразование Лапласа - Стилтьеса рассматриваемое как функция действительной переменной является вполне монотонной функцией, то есть оно имеет производные всех порядков и

Определение Производящей функцией распределения вероятностей дискретной случайной величины называется функция

Перечислим основные свойства этой функции.

Свойство 1.

Свойство 2. Для того, чтобы случайная величина имела начальный момент необходимо и достаточно, чтобы существовала конечная левосторонняя производная производящей функции в точке и начальные моменты легко подсчитываются через факториальные моменты

В частности,

Свойство 3. В принципе производящая функция позволяет вычислить (произвести) вероятности по следующей формуле:

Свойство 4. Производящей функции можно придать вероятностный смысл следующим образом. Интерпретируем случайную величину как число запросов, пришедших за некоторый промежуток времени. Каждый приходящий запрос с вероятностью окрашиваем в красный цвет, а с дополнительной вероятностью - в синий. Тогда из формулы полной вероятности следует, что есть вероятность того, за этот промежуток времени пришли только запросы красного цвета.

Таким образом, зная производящую функцию распределения вероятностей мы легко можем вычислить моменты этого распределения и в принципе можем вычислить сами вероятности Если непосредственный подсчет по формуле (1.19) затруднителен, можно воспользоваться методом обращения производящей функции путем разложения ее на простые дроби или численными методами (см., например, [176], [261]). При решении практических задач можно пытаться аппроксимировать это распределение путем сглаживания по заданному числу совпадающих моментов распределения.