Если же
, то базис пространства
состоит из
векторов. По следствию 3.3, отсюда следует, что при
всякая система k векторов пространства
линейно зависима.
СЛЕДСТВИЕ 3.9. Если
и система векторов
пространства
линейно независима, то
СВОЙСТВО 3.2. Если
— подпространство конечномерного векторного пространства
, то
Доказательство. Неравенство (1), очевидно, верно, если
есть нулевое подпространство. Если же подпространство
ненулевое, то (по теореме 3.5) оно конечномерно и (по теореме 3.1) обладает базисом. Пусть
— базис пространства
. Тогда
В пространстве
система векторов
линейно независима. Поэтому,
следствию
СВОЙСТВО 3.3. Если
— подпространство конечномерного векторного пространства и
то
Доказательство. Если подпространство
нулевое, то
Тогда в силу условия
Поэтому
— также нулевое векторное пространство. Следовательно,
Предположим, что
— ненулевое подпространство. Тогда оно, так же как и
, конечномерно и, по теореме 3.1, обладает базисом. Пусть
— его базис. Тогда
и, по условию,
Поэтому система
является также базисом пространства
. Следовательно,
СВОЙСТВО 3.4. Если конечномерное векторное пространство
есть прямая сумма подпространств
, то
Доказательство. По условию,
и, значит,
Если
или
— нулевые подпространства, то равенство (1), очевидно, верно.
Предположим, что
— ненулевые подпространства. Пусть
— базисы пространств U и X соответственно.
Докажем, что система
является базисом пространства Ввиду (2)
Система (6) линейно независима. Действительно, для любых скаляров
из равенства
в силу (7) следуют равенства
а так как системы (4) и (5) линейно независимы, из (8) следует, что
Далее, в силу (3)
т. e. система (6) порождает пространство
Итак, доказано, что система (6) есть базис пространства
Следовательно,
Теорема 3.10. Если векторное пространство
есть сумма конечномерных подпространств
, то
Доказательство. Предположим, что
Если
то сумма (2) прямая; следовательно, по свойству 3.4, теорема верна.
Предположим, что
Тогда пространство
, так же как и U, конечномерно. Пусть
— базис пространства
. Дополним его до базисов пространств
. Пусть
— базис пространства U и
— базис пространства
Тогда
и
На основании (4) и (6) заключаем, что
т. e. система
порождает пространство
Покажем, что система (7) линейно независима. Предположим, что
На основании (6) и (8) заключаем, что
и, значит,
В силу линейной независимости системы (5) отсюда следует, что
Из (8) и (9) следует равенство
Ввиду линейной независимости системы (3) следуют равенства
Итак, установлено, что система (7) линейно независима. Таким образом, система (7) есть базис пространства и
Ввиду (5) и (10)