§ 4. Применение сферических функций для решения граничных задач
Рассмотрим приложение теории сферических функций к решению задач Дирихле и Неймана.
Пусть 
— шаровая поверхность, определяемая в сферической системе координат 
уравнением 
— функция, заданная на 
и разлагающаяся в ряд по сферическим функциям:
Как мы знаем (§ 1), функция 
а поэтому и отличающаяся от нее только постоянным множителем функция
гармонична в любой области, не содержащей точки 
Поэтому функция
гармонична вне шаровой поверхности 
. А так как в силу соотношения (31) на 
она совпадает с 
то она представляет решение внешней задачи Дирихле для области, лежащей вне шаровой поверхности 
, при граничном условии и 
Пользуясь теоремой Кельвина (гл. XIX, § 3), найдем, что функция
гармонична внутри 2, а поэтому представляет решение соответствующей внутренней задачи Дирихле при том же граничном условии.
Рассмотрим теперь функцию
гармоническую в области вне 2. Направление нормали внутрь 
примем за положительное. При этом 
так что нормальная производная функции 
на 2 равна
Таким образом, ряд (34) дает решение внешней задачи Неймана для области вне 
при граничном условии 
Согласно § 4 гл. XIX внутренняя задача Неймана имеет решение только в том случае, если граничное условие 
удовлетворяет соотношению
В силу ортогональности сферических функций разного порядка
где 
постоянная. Отсюда заключим, что для соблюдения требования (35) в разложении (31) должен отсутствовать член нулевого порядка, т. е. должно быть:
В этом случае ряд
произвольная постоянная, разрешает внутреннюю задачу Неймана для шара при граничном условии 
Действительно, функция 
гармонична внутри 
, а ее нормальная производная на 
совпадает с 
(нормаль 
считаем направленной в область вне 2).
