§ 2. Задача о стационарном распределении температуры в шаре

Предположим, что нам дан металлический шар с закопченной поверхностью, подвергающийся действию солнечных лучен в воздухе, температуру которого примем для простоты равной нулю; требуется определить установившуюся температуру внутренних точек шара (рис. 41).

Из § 1 гл. XIX известно, что искомая температура должна удовлетворять уравнению Лапласа. Что же касается граничного условия на поверхности шара, то оно будет следующим:

где радиус шара, отношение коэффициентов теплоотдачи и внутренней теплопроводности, а температура поверхности шара, которая наблюдалась бы в том случае, если бы отсутствовало лучеиспускание с поверхности в окружающий воздух.

Если принять, что степень нагревания пропорциональна синусу угла падения лучей на поверхность, то очевидно, что функция

где постоянная величина, зависящая от интенсивности солнечной радиации.

Рис. 41

Будем разыскивать решение поставленной задачи в форме бесконечного ряда

с неопределенными пока коэффициентами

Внося выражение (11) в соотношение (9) и разлагая функцию в ряд по полиномам Лежандра:

где, согласно формуле (8) гл. XVI,

получим равенство

которое удовлетворяется тождественно, если коэффициенты

Теперь остается вычислить числа что легко сделать, если воспользоваться формулами (10) и (13). В самом деле, из этих формул вытекает, что

откуда непосредственным вычислением получим:

С другой стороны, в гл. XVI о полиномах Лежандра было указано, что

откуда вытекает, что

Следовательно,

Внося найденные значения коэффициентов в разложение получим искомую температуру шара в виде следующего бесконечного ряда:

где