§ 7. Сходимость инепрерывная зависимость несобственных интегралов от параметров

Пусть — функция координат точки поверхности Ляпунова параметрически зависящая от координат некоторой точки х. Предположим, что при функция непрерывна, а в некоторой окрестности точки удовлетворяет неравенству

где расстояние между точками а — положительные постоянные. Докажем, что при этом условии интеграл

абсолютно сходится. Достаточно доказать, что сходится интеграл

из чего, очевидно, и будет следовать абсолютная сходимость рассматриваемого интеграла.

Если точка х не лежит на поверхности то интеграл (35) — собственный и, следовательно, существует и конечен. Если же где точка на введем систему координат с началом в точке направив ось 3 вдоль нормали к поверхности в точке Как мы видели, на участке поверхности лежащем внутри шара достаточно малого радиуса а, имеет место неравенство (29): где угол между нормалями в точках и Вследствие этого, на участке

Поэтому

При интеграл в правой части сходится по известному признаку сходимости, следовательно, сходится и интеграл в левой части. Сходимость интеграла (35) вытекает теперь из того, что соответствующий интеграл по собственный и поэтому ограничен. Тем самым, наше утверждение доказано.

Предположим теперь, что точка некоторой области пересекающейся с поверхностью Ляпунова Область может иметь произвольное число измерений.

Говорят, что интеграл по ограниченной поверхности сходится равномерно в точке если для всякого

числа можно указать такие окрестности точки что

Покажем, что интеграл равномерно сходящийся в точке представляет функцию от непрерывную в этой точке. Иными словами, докажем существование такой принадлежащей области достаточно малой окрестности точки что при разность

по абсолютной величине не превзойдет произвольного сколь угодно малого положительного числа. Воспользуемся неравенством

В силу предположения о равномерной сходимости рассматриваемого интеграла, окрестность точки можно выбрать настолько малой и указать такую окрестность точки чтобы последние два интеграла в правой части неравенства не превосходили сколь угодно малого положительного числа Далее, ввиду непрерывности функции при можно найти такую окрестность точки являющуюся частью окрестности чтобы при соблюдалось неравенство

где площадь поверхности Из неравенства

следует, что при этом первый член правой части исходного неравенства не превзойдет Приняв во внимание полученные оценки,

найдем, что при справедливо неравенство

Ввиду произвольности числа отсюда вытекает доказываемое утверждение.

Докажем теперь следующий достаточный признак непрерывности: интеграл является непрерывной функцией х в точке принадлежащей поверхности если для всякого числа можно указать такую окрестность точки что

где положительные числа, расстояние между точками

По доказанному выше, из неравенства (36) следует абсолютная сходимость рассматриваемого интеграла. Следовательно, каково бы ни было положительное число можно найти такую окрестность точки чтобы при всех х было

Тем самым выполнено условие равномерной сходимости интеграла в точке Но из равномерной сходимости вытекает его непрерывность в точке что и утверждалось.