§ 3. Ортогональность функций Бесселя и их корни

Рассмотрим уравнение

где некоторая постоянная, отличная от нуля.

Введем вместо х новую независимую переменную Тогда уравнение (30) преобразуется в такое,

а это есть уравнение Бесселя. Следовательно, функция будет решением уравнения

которое, разделив на х, можем написать в виде

Возьмем два различных значения и напишем соответствующие дифференциальные уравнения:

Умножая первое из этих равенств на а второе — на и вычитая одно из другого, после несложных преобразований получим

Если теперь воспользоваться формулой (14), то нетрудно убедиться, что выражение, стоящее здесь в квадратных скобках, может быть разложено по степеням причем наинизшая степень х будет Отсюда ясно, что это выражение будет обращаться в нуль при если Приняв это во внимание, проинтегрируем равенство (32) по некоторому конечному промежутку ( тогда получим

где через обозначается, - как обычно, дифференцирование по аргументу. При эта формула принимает вид 1

Покажем теперь, что при функция Бесселя не может иметь комплексных корней. Допустим, что она имеет такой корень причем В разложении (14) все коэффициенты разложения вещественны и, следовательно, функция кроме корня должна иметь и сопряженный корень Обратимся к формуле (34) и положим при этом и формула дает

Величины будут комплексно сопряженными, следовательно, в предыдущей формуле под знаком интеграла стоит положительная величина и эта формула не может иметь места. Функция Бесселя не может иметь и чисто мнимых корней. Действительно, подставив в формулу (14), получим разложение, содержащее только положительные члены:

так как, согласно формуле (8), гамма-функция принимает положительные значения при

Покажем теперь, что функция имеет вещественные корни. Для этого обратимся к асимптотическому разложению функции Бесселя (29):

Из этой формулы видно, что при беспредельном удалении х вдоль положительной части оси второе слагаемое в квадратных скобках стремится к нулю, а первое — бесчисленное множество раз изменяется от —1 к Отсюда непосредственно вытекает, что функция имеет бесчисленное множество вещественных корней.

Таким образом, приходим к следующему результату: если то функция имеет все корни вещественные.

Заметим, кроме того, что из разложения (14), содержащего только четные степени, непосредственно вытекает, что корни будут попарно одинаковыми по абсолютной величине и обратными по знаку, так что достаточно рассматривать только положительные корни.

Пусть где два различных положительных корня уравнения

Тогда формула (33) дает непосредственно следующее свойство ортогональности функций Бесселя:

Пусть теперь где положительный корень уравнения (35) Возьмем формулу (33), в которой положим а будем считать переменным и стремящимся к тогда получим

При правая часть этого равенства становится неопределенной так как числитель и знаменатель стремятся к нулю. Раскрыв эту неопределенность по правилу Лопиталя, получим

Положив в формуле и приняв во внимание, что есть корень уравнения (35), получим

и формулу (37) можно записать еще следующим образом:

Таким образом, мы имеем

где положительные корни уравнения Рассмотрим теперь более общее уравнение

где заданные вещественные числа.

Пусть и -Два различных корня уравнения (40), т. е.

Отсюда непосредственно имеем

Следовательно, и в этом случае правая часть формулы (33) также равна нулю и мы имеем по-прежнему условие ортогональности (36).

Из условия ортогональности, как и выше, непосредственно вытекает, что уравнение (40) не может иметь комплексных корней где Уравнение (40) не может иметь и чисто мнимых корней за исключением случая когда оно имеет два чисто мнимых корня.

Нетрудно показать, что уравнение (40) имеет вещественные корни. В самом деле, положим

Тогда после простых вычислений получим

Отсюда следует, что между двумя положительными корнями Функции производная

Следовательно, функция постоянно убывает от до когда х возрастает от до и поэтому она принимает любое значение один и только один раз. Отсюда вытекает, что уравнение (40) имеет один и только один корень в промежутке Итак, имеем следующий результат: если и то все корни уравнения (40) вещественны.

Пусть теперь где -положительный корень уравнения (40). Возьмем формулу (33), в которой положим будем считать переменным и стремящимся к тогда получим

При правая часть этого равенства становится неопределенной. Раскрыв эту неопределенность по правилу Лопиталя, получим

или, в силу уравнения

придем после простых преобразований к формуле

и, наконец, приняв во внимание, что

окончательно получим

где положительный корень уравнения (40).