§ 4. Единственность решения смешанной задачи
Рассмотрим следующую смешанную задачу. Найти непрерывную в прямоугольнике 
функцию и 
удовлетворяющую внутри 
уравнению
где
начальным условиям
и граничным условиям
Докажем единственность решения смешанной задачи (67) — (69), предполагая, что решение 
имеет непрерывные производные до второго порядка включительно в 
Пусть 
два решения рассматриваемой задачи. Тогда разность
будет удовлетворять однородному уравнению
нулевым начальным условиям
и однородным граничным условиям
Докажем, что 
Рассмотрим интеграл энергии 
и покажем, что он не зависит от 
Действительно, дифференцируя 
по 
получим
Дифференцирование под знаком интеграла возможно в силу непрерывности вторых производных. Интегрируя по частям средний член в правой части (74), будем иметь
Отсюда, в силу уравнения (70) и граничных условий (72), следует, что
Учитывая начальные условия (71), получим 
Тогда из (73) и начальных условий (71) следует, что 
что и требовалось доказать.
Замечание. Единственность решения смешанной задачи для уравнения (67) имеет место и в том случае, если граничные условия (69) заменить более сложными:
где 
постоянные 
.
ЗАДАЧИ
(см. скан)
