§ 2. Сферический резонатор

Сферическую полость в проводящем материале называют сферическим резонатором. Найдем возможные типы электромагнитных колебаний в такой полости. При этом стенки полости будем считать идеально проводящими, а среду в полости — идеальным диэлектриком с

Как и в предыдущем параграфе, с математической точки зрения рассматриваемая задача приведется к задаче на разыскание собственных функций для сферической области.

Введем сферические координаты с началом в центре полости. В § 8 гл. XXIX мы видели, что электромагнитные поля электрического и магнитного типа в сферических координатах могут быть выражены с помощью потенциалов Дебая удовлетворяющих уравнению Гельмгольца. Так как потенциал Дебая: где а — функция, введенная в § 8 гл. XXIX, из соотношений гл. XXIX найдем, что компоненты векторов поля электрического типа могут быть выражены через потенциал Дебая и с помощью формул:

Аналогично, с помощью формул гл. XXIX, найдем, что компоненты векторов поля магнитного типа могут быть выражены через потенциал Дебая с помощью формул:

На границе сферического резонатора должны выполняться условия:

что приведет к следующим граничным условиям для потенциалов Дебая:

В § 4 гл. XXIV мы рассмотрели решения уравнения Гельмгольца вида и нашли их общее выражение при

где и — целые числа. Решение рассматриваемого вида регулярно при если

Введя обозначение

преобразуем выражение (19) к виду

Подчинив это выражение граничному условию (17), получим собственные функции рассматриваемой задачи для уравнения Гельмгольца при этом граничном условии:

где корни уравнения

Аналогичным образом найдем собственные функции при граничном условии (18):

где корни уравнения

Формулы (20) и (21) и дают ответ о возможных типах свободных электромагнитных колебаний в сферическом резонаторе.

ЗАДАЧИ

(см. скан)