§ 6. Исследование поля шара при произвольном колебании его поверхности. Акустические или колебательные мультиполи

Займемся исследованием решения, полученного в предыдущем параграфе.

Из (45) следует, что точки, для которых было бы при могут оказаться особыми. Это, однако, невозможно, поскольку функции как и функции Ханкеля, не имеют вещественных корней. Это легко показать для малых значений удовлетворяющих неравенству

где X — длина излучаемых системой волн. В силу формул (36) и (40) при малых

Подставив эти соотношения в формулу (42), получим

откуда следует справедливость сделанного утверждения, так как все числа заведомо ограничены.

Выражения (52) позволяют также получить приближенное представление ряда (45) при малых размерах источника. Подставив

выражения (52) в ряд (45), получим ряд

который обычно быстро сходится.

Выясним теперь физический смысл отдельных членов ряда (45). Рассмотрим первый член, который, в силу того, что (см. гл. XIII, § 6

может быть записан в виде

Положим

где — вещественные числа. Тогда первый член распадается на два слагаемых:

Сравнив их с выражением (25), видим, что они соответствуют полям точенных источников с производительностями

и фазой, взаимно сдвинутой на

Чтобы выяснить физический смысл второго члена, найдем соответствующее ему распределение радиальных скоростей поверхности шара. В силу формул (4) и (45):

откуда

Но в силу (43):

Представляя каждую из комплексных величин в виде

разобьем выражение а два слагаемых. Первое из них равно

В частности, при получим Но нетрудно видеть, что именно такое распределение радиальных скоростей имеет место при гармонических колебаниях жесткого шара, происходящих с круговой частотой со и амплитудой вдоль полярной оси сферической системы координат. Руководствуясь этим обстоятельством, рассмотрим случай колебаний шара с амплитудой вдоль оси, направление которой определяется углами В этом случае радиальная скорость точки на поверхности рассматриваемого шара с координатами (равная проекции скорости колебаний центра шара на направление, заданное углами определится соотношением

которое совпадает с соотношением (54), если

т. е. если

Совершенно таким же образом найдем, что второе слагаемое в содержащее множитель также дает поле, соответствующее гармоническому колебанию жесткого шара, но, вообще говоря, происходящему с другой амплитудой и вдоль другой оси. Амплитуду и направление колебания определим, произведя в формулах (55) замены: Кроме того, фаза второго колебания сдвинута на по отношению к фазе первого.

Как и при рассмотрении первого члена ряда (45), мы можем ввести точечный объект, который называют акустическим или колебательным диполем. Под ним будем понимать гармонически колеблющийся вдоль некоторого направления шар, поперечник которого пренебрежимо мал по сравнению с длиной излучаемых волн. Для читателя не доставит затруднений убедиться, что второй член разложения (45) при соответствует полю двух надлежаще ориентированных акустических диполей с фазами, взаимно сдвинутыми на у.

Рассматривая последовательно члены ряда (45) можно было бы продолжить построение акустических мультиполей. Мы предпочтем, однако, несколько иной подход к делу, тем более, что существенное практическое значение имеет лишь модель (колеблющийся шарик) акустического диполя.

Каждая из сферических функций и входящих в ее состав слагаемых дает распределение колебаний поверхности шара, характеризуемое, во-первых, определенной степенью симметрии — определенным числом и взаимным расположением осей и плоскостей симметрии и, во-вторых, определенной ориентацией этих фигур симметрии в пространстве. Особенностью каждой из указанных фигур симметрии является то, что соответствующая им картина поля на всех шаровых поверхностях, концентричных с шаровым источником, подобна, что, вообще говоря, не имеет места при произвольной картине поля.

С аналогичным положением мы встречались уже при рассмотрении электростатического поля произвольной системы зарядов. Как было показано в гл. XX, §§ 3—4, поле произвольной системы зарядов может быть представлено в виде разложения по мультиполям разного порядка:

С ростом роль отдельных слагаемых меняется, так что, если при некотором значении основную роль играет, например, слагаемое с йдто с ростом рано или поздно эта роль перейдет к слагаемому (если только все слагаемые с не равны тождественно нулю). Картина поля все более приближается к симметричной картине, соответствующей мультиполю наименьшего порядка, для которого мультипольный момент системы не равен нулю. Так, при достаточном удалении от произвольной системы зарядов с полным зарядом, неравным нулю, поле этой системы близко к сферически симметричному полю точечного заряда. Если полный заряд системы равен нулю, но дипольный момент отличен от нуля, то на достаточном удалении поле близко к полю диполя и т. д.

Наоборот, поле каждого отдельного мультиполя с ростом лишь убывает, картины же его на всех шаровых поверхностях с центром в в точности подобны.

В силу замкнутости системы сферических функций, мультиполи (или системы, по создаваемому полю эквивалентные одному мультиполю) исчерпывают все системы, обладающие этим свойством. Действительно, предположим, что им обладает также некоторая система, не приводящаяся к одному мультиполю. Тогда она, согласно § 3—4 гл. XIX, может быть представлена как сумма

(конечная или бесконечная) мультиполей разных порядков, расположенных в точке Но поля мультиполей разных порядков с ростом меняются по различным законам, и система не может обладать требуемым свойством. Полученное противоречие и доказывает сделанное утверждение.

Свойством создавать поля, подобные на бесконечной системе концентрических шаровых поверхностей произвольного радиуса, и может быть определен мультиполь. В частности, под акустическим или колебательным мультиполем мы будем понимать точечный источник, создающий в однородной среде поле, имеющее следующие свойства: а) оно удовлетворяет уравнению Гельмгольца, б) фаза колебаний поля зависит только от расстояния до источника (так что, в частности, в любой точке произвольной шаровой поверхности с центром в точке расположения источника фаза колебаний одинакова), в) на всех шаровых поверхностях с центром в точке расположения источника поля подобны, удовлетворяется условие излучения. Излучающая система, поле которой начиная с некоторого расстояния подобно полю мультиполя, может быть названа приводящейся к мультиполю.

Продолжим теперь сравнение между электростатическим и акустическим полями.

Подставив в ряд (53) выражение (36) для при малых значениях аргумента, получим разложение

Если включить здесь множители — в состав функций мы получим ряд, формально полностью совпадающий с рядом (56); поэтому к полю в пределах применимости ряда (57), приложимо то, что было сказано о поле системы электрических зарядов.

В характере обоих полей есть, однако, существенные отличия. Во-первых, они обусловлены тем, что при поле давления акустических мультиполей всех порядков убывает лишь пропорционально Это следует из соотношения (37). Поэтому, в отличие от электростатического поля, в котором роль мультипольных моментов высших порядков по мере удаления от системы зарядов становится сколь угодно малой, в акустическом поле, по мере роста разница в темпе убывания полей мультиполей разных порядков становится все менее ощутимой. В результате, зависимость давления в акустическом поле от угловых координат с ростом вообще говоря, стремится не к зависимости, соответствующей некоторому акустическому мультиполю, но к специфической в каждом случае зависимости. Это ясно видно также из

следующего. Пусть Тогда сумма членов ряда (45) с в силу (37) приближенно равна

Входящий в это выражение ряд

не зависит от и при и определяет указанную предельную зависимость.

Таким образом, если электростатическое поле по мере удаления от источника сколь угодно близко приближается к полю мультиполя некоторого порядка (т. е. любая система неподвижных электрических зарядов приводится к мультиполю), то в акустическом поле это обстоятельство, вообще говоря, не имеет места. Однако роль мультиполей высшего порядка в акустическом поле обычно невелика, что можно, например, ожидать, ввиду быстрого убывания членов ряда (53), обусловленного наличием множителя

Во-вторых, различие между электростатическими и акустическими полями обусловлено тем, что акустические поля (и вообще колебательные поля) могут отличаться друг от друга не только амплитудой, но и фазой, что не имеет места в случае электростатического поля. Поэтому каждый член разложений (45) и (53) соответствует полю не одного мультиполя, а двух, отличающихся фазой колебаний.

В силу формул (4) и (58) радиальная скорость среды, обусловленная мультиполями с при равна

Тангенциальные компоненты скорости имеют порядок как это ясно из выражений для операторов дифференцирования по направлениям касательных к линиям

Поэтому при большом удалении от излучающей системы и малой роли мультиполей высших порядков движение среды, в основном, радиальное.

Пользуясь соотношением (7) и полагая, что давление звукового поля достаточно хорошо представимов форме

найдем, что интенсивность поля на большом удалении от излучателя равна

где

— так называемая функция углового распределения интенсивности излучения, а

— "средняя производительность" источника. Для равномерно пульсирующего шара

ЗАДАЧИ

(см. скан)