§ 7. Функции Бесселя мнимого аргумента
Во многих задачах математической физики встречается уравнение
Нетрудно проверить, что это уравнение получается из уравнения Бесселя после замены в последнем х на 
Следовательно, функция 
есть частное решение уравнения (65). Так как
уравнение (65) однородно, то произведение 
на произвольную постоянную есть также решение данного уравнения. Выберем эту постоянную равной и введем обозначение
При указанном выборе постоянной рассматриваемое нами частное решение уравнения (65) будет выражаться рядом
Функция 
также является решением уравнения (65), и если 
не целое число, то 
суть два линейно-независимых решения уравнения (65). Если 
целое число, то функции 
линейно-зависимы, так как
что непосредственно вытекает из формул (66) и (16).
Для получения общего решения уравнения (65) надо найти другое, линейно-независимое от 
частное решение.
Это частное решение, носящее название функции Макдональда, берется в виде
При целом 
правая часть равенства (69) принимает неопределенный вид, что легко следует из соотношения (68). Раскрывая неопределенность по правилу Лопиталя, получим следующее выражение для функции 
при целом 
В частности,
Отметим, что 
при 
Так как 
суть два линейно-независимых решения уравнения (65) при любом значении 
то его общее решение
можно написать в таком виде:
где 
— произвольные постоянные.
В заключение заметим, что 
растет неограниченно при 
а функция 
стремится к нулю при 
как это видно из асимптотических представлений этих функций, приводимых здесь без доказательства:
ЗАДАЧИ
(см. скан)
