§ 3. Кольцевые волны
Возмущение в какой-либо точке поверхности жидкости вызывает появление кольцевых волн с центром в точке возмущения.
Для изучения этих волн введем цилиндрические координаты 
с началом в месте возмущения и осью 
направленной вертикально вниз. Уравнение Лапласа (2) для потенциала скоростей 
в силу формулы (3) гл. XIX, примет при этом вид
Рассмотрим сначала колебания чисто периодические по времени, в связи с чем, согласно § 1, примем
где 
— круговая частота колебаний, 
комплексная функция координат, как и 
удовлетворяющая уравнению вида (38). Считая, что интересующие нас волны имеют кольцевую симметрию, придем к уравнению
Полагая далее бассейн неограниченным, сохраним граничные условия только для свободной поверхности (13):
и для дна бассейна (12):
Как и в предыдущем параграфе, решение уравнения (40) будем искать по методу разделения переменных. Положив и 
после очевидных выкладок придем к уравнениям:
где 
— произвольное число.
Оба граничных условия 
относятся к уравнению (44). Как само уравнение (44), так и эти граничные условия те же, что и в § 2. Поэтому на основании формулы (21) сразу можем записать, что с точностью до множителя,
причем, в силу (22), 
вещественное число, связанное с круговой частотой колебаний (о уравнением
Что же до уравнения (43), то это уравнение Бесселя нулевого порядка (гл. XIII). Его решением, ограниченным и непрерывным при всех 
включая 
является функция Бесселя нулевого порядка 
Таким образом, принимая во внимание соотношения (39) и (45), придем к заключению, что все непрерывные решения уравнения (40) при граничных условиях (41) — (42) имеют вид
где 
— величина, не зависящая ни от 
ни от 
Отсюда, на основании равенства (39),
В силу формулы (7), высота свободной поверхности над ее невозмущенным уровнем определится соотношением
Воспользовавшись графиком функции 
легко видеть, что расстояние между двумя соседними вершинами рассматриваемых
периодических кольцевых волн (аналог длины волны в двумерном случае) увеличивается по мере удаления от точки 
а высота волн убывает.
Рассмотрим теперь случай произвольного осесимметричного начального возмущения.
Предположим, что при 
где 
заданная непрерывная функция 
и поставим задачей найти движение жидкости при 
Воспользуемся с этой целью интегралом Фурье — Бесселя:
заменив в нем функцию 
функцией 
Введя функцию
можем записать
Это соотношение дает представление начального возмущения 
в форме суперпозиции кольцевых волн разных частот. Отсюда ясно, что функция
дает решение нашей задачи. Действительно, эта функция представляет суперпозицию функций (47), удовлетворяющих уравнению задачи и граничным условиям. Следовательно, она также обладает этими свойствами. В силу же (7) из нее вытекает, что
откуда при 
получаем соотношение (51). Таким образом, функция 
представляет потенциал скорости жидкости при заданных граничных и начальном условиях и поэтому определяет искомое движение жидкости. Формула (53) определяет форму поверхности жидкости при 
