Глава XXXII. РАЗЛОЖЕНИЕ ПО СОБСТВЕННЫМ ФУНКЦИЯМ ЗАДАЧИ ШТУРМА—ЛИУВИЛЛЯ

§ 1. Введение

В математической физике очень важны методы (например, метод Фурье, метод интегральных преобразований и др.), при которых решение задачи получается в форме ряда или интеграла, т. е. в виде разложения по некоторой системе функций. Такие разложения хорошо изучены, когда каждая из функций, по которым осуществляется разложение, зависит только от одной из переменных, встречающихся в задаче. Чтобы найти естественную систему функций, по которой можно осуществить разложение, обычно необходимо найти решение некоторой граничной задачи для обыкновенного дифференциального уравнения, получившей название задачи Штурма—Лиувилля. В этой главе рассмотрим элементы теории задачи Штурма — Лиувилля и сформулируем соответствующие теоремы разложения. Вместо того, чтобы стремиться сформулировать их в форме, когда они могут быть сравнительно просто доказаны, изберем другой путь: как правило, опуская доказательства, будем стремиться к изложению результатов в достаточно общем виде, диктуемом практическими потребностями. Полную теорию можно найти в [31], ряд результатов содержится также в [4] и [56].

В этой главе будем использовать следующие общепринятые обозначения замкнутых и открытых интервалов вещественная переменная): если значения х удовлетворяют неравенству если если если Используя знак принадлежности 6, будем писать: если — точка из

Далее, символом обозначим класс (множество) функций, имеющих непрерывные вторые производные, а через С — класс непрерывных функций. Если функция класса будем писать .