§ 2. Неоднородное уравнение теплопроводности
1. Рассмотрим неоднородное уравнение
с начальным условием
и граничными условиями
При этом предполагается, что непрерывная функция 
имеет кусочно-непрерывную производную первого порядка по х и что при всех 
выполняются условия 
Будем искать решение задачи (45) -(47) в виде
так что граничные условия (47) удовлетворяются сами собой. Предположим, что функция 
рассматриваемая как функция от х, может быть разложена в ряд Фурье:
где
Подставляя ряд (48) в уравнение (45) и принимая во внимание (49), получим
откуда, заменяя 
величинои со",
Пользуясь начальным условием для
получаем начальное условие для
Решая обыкновенное дифференциальное уравнение (51) с нулевым
начальным условием (52), находим
Подставив это выражение в ряд (48), получим решение задачи 
в виде
Воспользуемся выражением (50) для 
и преобразуем найденное решение (53)
где
Функция 
называется функцией мгновенного точечного источника тепла. Функция 
рассматриваемая как функция от х, представляет распределение температуры в стержне 
в момент времени 
вызванное действием мгновенного источника тепла напряжения 
помещенного в момент 
в точке 
промежутка (
тогда как на концах стержня все время поддерживается нулевая температура.
Если начальное условие неоднородно, то к решению (54) нужно прибавить решение однородного уравнения теплопроводности с заданным начальным условием 
и граничными условиями (47), полученное в § 1 этой главы.
2. Рассмотрим теперь тот случай, когда начальное и граничные условия неоднородные, т. е. требуется найти решение уравнения
при начальном условии
и при граничных условиях
Эта задача легко сводится к задачам, рассмотренным в 
этого параграфа. Действительно, положим
где функция 
удовлетворяет однородному уравнению
граничным условиям
и начальному условию
а функция 
удовлетворяет неоднородному уравнению
граничным условиям
и начальному условию
Очевидно, что сумма (58) является решением задачи 
Заметим, что задача 
также легко сводится к задаче, рассмотренной в п. 1, если ввести новую неизвестную функцию 
положив
где
