§ 9. Разложение по собственным функциям сингулярной задачи Штурма — Лиувилля на интервале, бесконечном в обе стороны

Основное отличие задачи Штурма — Лиувилля на интервале, бесконечном в обе стороны (или с особенностями на обоих концах интервала), - отсутствие граничных условий в обычном смысле. Если при для оператора имеет место случай предельной точки, то решение задачи вообще однозначно определяется уравнением. При этом, конечно, подразумевается, что задача на интервале предельная в отношении задачи на конечном интервале с вещественными граничными условиями:

Пусть а — вещественное число, такое, что —два линейно независимых решения уравнения (75), удовлетворяющих начальным условиям:

Каждое решение уравнения второго порядка является линейной комбинацией двух его любых линейно независимых решений. Поэтому нормированная собственная функция задачи принадлежащая собственному числу может быть представлена в виде

где постоянные коэффициенты. Положим, по аналогии с (65),

функция с интегрируемым квадратом модуля на Ряд Фурье функции имеет вид

Чтобы ряд в правой части записать в форме интегралов, введем четыре функции скачков имеющие скачки, соответственно равные при значениях К, принадлежащих последовательности собственных чисел задачи Тогда

Четыре функции скачков можно рассматривать как элементы матрицы

которую называют спектральной матрицей.

Пусть решения уравнения (75), удовлетворяющие соответственно первому и второму граничному условию (76). Согласно (43) при числа лежат на окружностях определяемых соответственно уравнениями При окружность стремится либо к предельной точке, которую обозначим символом либо к предельной окружности , где с — параметр, при изменении которого в некоторых пределах величина описывает (при фиксированном предельную окружность. Аналогично при окружность стремится либо к предельной точке либо к предельной

окружности Таким образом, на интервале возможны комбинации либо двух предельных точек, либо двух предельных окружностей, либо, наконец, одному из концов интервала может соответствовать предельная точка, а другому — предельная окружность.

Независимо от свойств оператора функции принадлежат соответственно классам

Сформулируем теорему разложения для интервала

Если — то существуют функции

и неубывающие функции такие, что

Если в точках функция непрерывна, то

Если при имеет место случай предельного круга, то все функции, аналитические в любой конечной части комплексной плоскости I всюду, за исключением особых точек, являющихся полюсами.

Из (83) следует, что полюсы функций т. е. разрывы возможны только в точках, в которых выполняется одно из условий

Может случиться (например, когда или функции не имеют общих полюсов и одна из них вещественна на вещественной оси), что разложение (81) приводится к виду, аналогичному (72). Так, если полюсы функций не

совпадают (вследствие чего величины в этих полюсах ограничены) и под знаком интеграла (82) в выражении можно перейти к пределу причем то

откуда

Подставив эти значения в (81), получим

а подставив сюда (80) и обозначив, как и выше, придем к разложению