§ 7. Разложения в ряды по частным решениям уравнения Гельмгольца в бесконечной области

Введем сферические координаты

Пусть — решение уравнения Гельмгольца, регулярное при и удовлетворяющее условию излучения. В области регулярности функция и может быть разложена в ряд по сферическим функциям (гл. XXI, § 3):

Покажем, что с точностью до независящего от координат множителя, все коэффициенты и этого ряда для каждого фиксированного равны функции

где функция Ханкеля первого рода полуцелого порядка.

Воспользуемся с этой целью частным решением (56) уравнения Гельмгольца в сферических координатах, положив в нем: При обозначении (91) оно примет вид

где положено Легко убедиться, что функция является решением уравнения Гельмгольца в сферических координатах, регулярным в любой области, не содержащей точки и удовлетворяющим условию излучения.

Пусть — две шаровых поверхности радиусов с центром в точке Применим в области V, заключенной между поверхностями 20 и 2, к функциям формулу Грина (7) гл. XVIII. Так как функции по предположению удовлетворяют уравнению Гельмгольца, то

поэтому

При больших значениях в силу условия излучения и оценки (82):

откуда

Поэтому интеграл в правой части соотношения (93) при стремится к нулю, а так как интеграл в левой части этого соотношения от не зависит, то

Подставив сюда выражения функций из соотношений (90) и (92) и приняв во внимание соотношения ортогональности сферических функций (гл. XXI, § 2), после интегрирования по 2 получим

или, в силу произвольности значений и

откуда вытекает, что отличаются друг от друга только независящим от множителем, так как в противном случае эти равенства соблюдаться не могут. Таким образом, наше утверждение доказано.

Положив

где числа, не зависящие от координат, и подставив эти выражения в ряд (90), получим

Тем самым доказана возможность разложения решения уравнения Гельмгольца в ряд по частным решениям вида (56).

Умножим ряд (94) на комплексно-сопряженный ему ряд и, приняв во внимание соотношения ортогональности сферических функций (гл. XXI, § 3), вычислим интеграл от этого произведения по поверхности некоторого шара а. В результате получим:

Из этого соотношения следует утверждение, известное как основная лемма теории уравнения Гельмгольца: регулярное в бесконечной области решение уравнения Гельмгольца с вещественным значением параметра удовлетворяющее на бесконечности условию излучения и условию

где a - шар радиуса тождественно равно нулю. Действительно, при вещественном выражение

и не стремится к нулю при Поэтому соотношение (95) и условие (96) совместно могут выполняться только тогда, когда

Но так как все коэффициенты ряда (94) равны нулю, то . Таким образом, лемма доказана.