§ 2. Колебания мембраны
Рассмотрим задачу о малых колебаниях прямоугольной мембраны, закрепленной на краях.
Дифференциальное уравнение малых колебаний плоской однородной мембраны имеет вид (гл. VIII, § 1)
где 
смещение мембраны из положения равновесия, 
— давление, оказываемое на мембрану, 
натяжение мембраны. Плоскость, в которой лежит мембрана в положении равновесия, предполагается совпадающей с плоскостью 
Выбрав начало координат в вершине одного из углов мембраны и направив оси 
вдоль исходящих из этой вершины сторон, запишем граничные условия в форме
где 
- длины сторон мембраны. Начальные условия примем в общей форме:
Нам надо найти решение задачи 
в прямоугольнике 
Применим интегральное преобразование дважды, чтобы исключить дифференциальные операции по координатам 
Положим
Для отыскания ядра преобразования К придем к граничной задаче:
нормированным решением которой служит функция
С помощью интегрального преобразования в интервале
с ядром — 
преобразуем задачу 
к виду: 
где, по принятому соглашению, чертой над символом обозначен переход от исходных величин к их интегральным преобразованиям с рассматриваемым ядром.
Чтобы исключить дифференциальные операции также и по переменной 
положим
Для отыскания подходящего преобразования придем к задаче, совершенно аналогичной задаче (14) — (15), вследствие чего ядро К прямого преобразования будет иметь вид 
а собственные числа 
определятся выражением: 
Осуществив в пределах 
преобразование с ядром
приведем задачу (16) — (18) к виду
где
и аналогичными формулами определяются величины 
Таким образом, путем двукратного применения интегрального преобразования задачу (11)-(13) мы привели к задаче для обыкновенного дифференциального уравнения (19). Обозначив решение этого последнего при начальных условиях (20) через 
на основании общего выражения для обратного преобразования, представим решение и 
задачи (16) -(18) в виде ряда
Осуществив обратное преобразование второй раз, получим решение исходной задачи (11) — (13):
ЗАДАЧИ
(см. скан)
