Глава XXII. ПРИЛОЖЕНИЕ ТЕОРИИ СФЕРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ

§ 1. Электростатический потенциал проводящего шара, разделенного слоем диэлектрика на два полушария

Предположим, что полый шар из проводника разделен слоем диэлектрика на два полушария: верхнее, заряженное до потенциала и нижнее, имеющее потенциал Требуется определить потенциал в любой точке электростатического поля. Задачу будем решать в сферических координатах ,

расположив начало в центре шара и направив полярную ось перпендикулярно изолирующему слою.

Очевидно, что поставленная задача представляет задачу Дирихле для уравнения Лапласа при граничном условии

где — потенциал в точке — радиус шара (толщинами стенок шара и слоя диэлектрика пренебрегаем).

Решение этой задачи для точек внутри и вне шара дается разложениями (32) и (33) гл. XXI:

Так как картина поля, очевидно, не зависит от координаты то в формуле (28) гл. XXI следует положить при что даст

Сравнив теперь разложения

и

с разложением (7) гл. XVI, на основании формулы (8) гл. XVI найдем выражения для коэффициентов

где значение функции на поверхности шара. Подставив граничное условие, получим:

Так как полином Лежандра имеет одинаковую четность с индексом т. е.

то

Воспользуемся формулой (задача 1 гл. XVI):

Из нее вытекает, что

Подставив найденные значения коэффициентов в разложения (4) и (5), мы и найдем искомый потенциал электростатического поля: