§ 2. Задача Штурма — Лиувилля

Рассмотрим обыкновенное линейное дифференциальное уравнение:

где -вещественные функции вещественной переменной комплексный параметр. Если при некотором х хотя бы один из коэффициентов имеет

бесконечный разрыв или то говорят, что коэффициенты уравнения имеют особенность в точке х. Примем, что при коэффициенты уравнения (1) особенностей не имеют, в конечных же точках особенности могут быть (такие случаи как раз важны). Не ограничивая общности, можно принять, что в

Дифференциальные формы

называют сопряженными. Символы означают здесь правила или, что то же, операторы, сопоставляющие функции у соответствующие дифференциальные выражения. Если то и форму называют самосопряженной.

Умножением на уравнение (1) можно привести к виду

где

а левая часть уравнения — самосопряженная форма. Из следует, что

Самосопряженные дифференциальные формы двух функций удовлетворяют тождеству Лагранжа:

где определитель Вронского функций Взяв интеграл от обеих частей (5), получим формулу Грина:

Нас будут интересовать решения уравнения (3), удовлетворяющие однородным линейным граничным условиям с вещественными коэффициентами. Граничную задачу с такими условиями называют задачей Штурма—Лиувилля. Будем записывать ее в виде системы соотношений:

где вещественные числа удовлетворяют неравенствам:

Если не оговорено противное, будем считать, что

Задача всегда имеет не представляющее интереса решение и 0, называемое тривиальным. Нетривиальных решений при данном произвольном однако, может и не быть. Поэтому содержанием задачи является не только отыскание решений при данном но и определение совокупности значений при которых существуют нетривиальные решения. Если при некотором задача имеет нетривиальное решение то X называют собственным числом (или значением) этой задачи, а решение собственной функцией задачи, принадлежащей собственному числу К.

Частные случаи задачи Штурма-Лиувилля неоднократно встречались раньше (например, гл. XXX). Из этого видно, что она имеет нетривиальные решения.

Легко устанавливаются следующие свойства собственных функций задачи Штурма-Лиувилля.

Две собственные функции, принадлежащие одному и тому же собственному числу, линейно зависимы, т. е. отличаются лишь постоянным множителем.

В самом деле, так как все собственные функции удовлетворяют одному и тому же граничному условию (8), то, как показывает простое вычисление, определитель Вронского любых двух собственных функций обращается в нуль в граничных точках. Если функции принадлежат одному и тому же собственному числу, то они, тем самым, удовлетворяют одному и тому же дифференциальному уравнению, а тогда из обращения их определителя Вронского в нуль при каком-либо одном значении независимой переменной, как известно, следует, что они линейно зависимы.

Две собственные функции принадлежащие различным собственным числам и на интервале взаимно ортогональны с весом т. е.

Для доказательства применим формулу Грина (6), положив в ней что ввиду (7) дает

Определитель Вронского двух собственных функций, как было указано, в граничных точках равен нулю. Поэтому правая часть (12) равна нулю. Поскольку то из этого следует (11). Собственные числа вещественны.

В самом деле, ввиду вещественности коэффициентов уравнения где звездочка означает переход к комплексно сопряженной величине. Поэтому из и вытекает, что т. е. если собственная функция, принадлежащая собственному числу то и — собственная функция, принадлежащая собственному числу k. Если значение X невещественно, то по доказанному, функции ими ортогональны, т. е.

Но так как то т. е. и — тривиальное решение, а не собственная функция. Поэтому невещественных собственных чисел быть не может.

Собственные функции, принадлежащие различным собственным значениям, линейно независимы.

В самом деле, предположим, что собственные функции принадлежащие различным собственным значениям, связаны линейным соотношением Умножив его на и проинтегрировав в пределах от а до ввиду (11), получим

т. е. так как их Подобным путем найдем, что и все коэффициенты должны быть равны нулю, т. е. линейной зависимости между их, быть не может.

Две линейно независимые собственные функции на интервале взаимно ортогональны с весом

Это утверждение является очевидным следствием предыдущих.