§ 2. Вертикальный излучатель в однородной среде над идеально проводящей плоскостью
Рассмотрим ограниченную в пространстве систему вертикальных токов, обладающую симметрией вращения относительно вертикальной оси. Будем называть ее вертикальным излучателем, а ее ось симметрии —осью излучателя. Излучение будем считать происходящим в заполненное однородным диэлектриком полупространство ("однородная атмосфера"), ограниченное горизонтальной плоскостью, являющейся границей идеального проводника (поверхность "земли").
Введем цилиндрические координаты 
с осью 
направленной по оси излучателя, и началом на горизонтальной плоскости, уравнение которой в силу этого будет иметь вид: 
В соответствии с § 1 для отыскания электромагнитного поля излучателя надо решить неоднородное уравнение Гельмгольца для компоненты 
векторного потенциала. Так как поле обладает симметрией вращения относительно оси излучателя, это уравнение в координатах 
будет иметь вид:
причем компонента 
не будет зависеть от 
С помощью формул, приведенных в задаче 2 к § 1, найдем, что компоненты векторов поля в рассматриваемом случае будут равны
т. е. поле вертикального излучателя представляет систему волн со взаимно перпендикулярными электрическим и магнитным векторами.
Согласно § 7 гл. XXIX единственное граничное условие, не выполняющееся на границе идеального проводника тождественно, в силу уравнений Максвелла, состоит в том, что тангенциальная компонента электрического вектора должна обращаться на границе в нуль. Это, в силу равенств (4), будет выполнено, если положить
Наконец, на бесконечности должно быть выполнено условие излучения:
Исключим из уравнения (3) с помощью интегрального преобразования операции дифференцирования по координате 
Рассмотрим с этой целью дифференциальное выражение
для которого 
откуда по формулам (17) гл. XXXIII:
Следовательно, ядро искомого интегрального преобразования должно быть решением уравнения
Делением на 
это уравнение приводится к уравнению Бесселя нулевого порядка:
ограниченными решениями которого являются функции Бесселя 
Таким образом, следует применить преобразование Ханкеля (гл. XXXIII, § 5, п. 4°) при 
Осуществив это преобразование, приведем задачу (3) -(5) к виду:
Общее решение уравнения (10) равно
где 
произвольные постоянные, а через 
обозначен тот корень из 
вещественная часть которого положительна. Так как система токов излучателя по предположению
ограничена в пространстве, вследствие чего начиная с некоторых 
функция 
то интегралы от выражений, содержащих множителем эту функцию, ограничены. Поэтому, чтобы обеспечить обращение в нуль функции 
при 
достаточно положить
Граничное условие (11), как легко видеть, даст
Подставив найденные значения постоянных в решение (12) и доопределив функцию 
для 
четным образом, т. е. положив 
окончательно получим
Обратное преобразование Ханкеля
даст решение поставленной задачи в форме некоторого определенного интеграла, который мы не будем здесь выписывать подробно. Рассмотрим некоторые важные частные случаи. Если излучатель представляет цилиндрический стержень радиуса 
расположенный в области 
а плотность тока в поперечном сечении стержня распределена по закону
где 
постоянная, то
Заметим, что полный ток, текущий через поперечное сечение стержня,
Если мы заставим 
стремиться к нулю, одновременно увеличивая плотность тока так, чтобы величина полного тока оставалась неизменной, то получим
Этот случай соответствует вертикальному отрезку провода, поперечник которого пренебрежимо мал (вертикальный линейный ток).
Подставив выражение (19) в равенство (15), для значений 
лежащих вне интервала 
получим
Если точку 
сближать с точкой 
то, пользуясь разложением в ряды по малым разностям 
найдем, что
Одновременно с уменьшением разности 
будем увеличивать 
так, чтобы произведение
сохраняло неизменное значение. В пределе, при 
придем к случаю колебательного электрического диполя с вертикальной осью и моментом 
расположенного в точке 
Соотношение (20) примет при этом вид
Выражения для 
могут быть здесь объединены в одно:
пригодное при всех 
Подставив это выражение в формулу (16) и вспомнив, что 
получим:
Этот интеграл может быть вычислен с помощью известной из теории бесселевых функций формулы
в силу которой
Эта формула допускает интересную интерпретацию.
Легко показать, что для диполя, расположенного в бесконечной однородной среде, направленная вдоль его оси компонента векторного потенциала равна
где 
расстояние от диполя до точки наблюдения. Сравним это выражение с (24). Величина У 
в (24) также представляет расстояние от диполя, расположенного в точке 
до точки наблюдения 
(координата 
в силу симметрии поля может иметь любое значение). Величина же 
формально представляет расстояние от точки наблюдения до точки 
представляющей зеркальное отображение точки 
в нижнем полупространстве относительно границы раздела сред (плоскость 
Таким образом, приходим к следующему выводу. Поле, создаваемое одиночным вертикально ориентированным диполем 
в произвольной точке над идеально проводящей землей, таково же, как поле, которое создавалось бы в этой точке при отсутствии земли двумя такими же вертикально ориентированными и колеблющимися в одной фазе диполями, из которых один был бы расположен в той же точке, что и диполь 
а другой — в точке, представляющей ее зеркальное отражение относительно поверхности земли. В частности, отсюда следует, что поле диполя, расположенного на поверхности идеально проводящей земли, удваивается по сравнению с полем, которое создавалось бы в атмосфере при отсутствии земли. Действительно, при 
формула (24) даст
что равно удвоенному выражению (25)
