§ 5. Формула Грина — Стокса

Обозначим через окрестность точки х, определенную неравенством

Как известно из аналитической геометрии, такая окрестность представляет эллипсоид с объемом, равным

Пусть V — замкнутая область их — ее внутренняя точка. Выберем настолько малым, чтобы окрестность целиком лежала внутри В области функция Леви непрерывна вместе со своими первыми и вторыми производными. Следовательно, в области можно применить формулу Грина (15), положив в ней При этом получим

где индексы указывают, что дифференцирование и интегрирование проводятся по координатам точки

Имея в виду перейти в этом соотношении к пределу при и замечая, что в окрестности точки подынтегральные выражения неограниченно возрастают, проведем их оценку. Положив

и приняв во внимание соотношения (14), можем записать

где

Так как функции ограничены, то из неравенств (24) и (25) следует неравенство:

где положительные постоянные. В достаточно малой окрестности точки х первый член в правой части этого неравенства становится подавляюще велик по сравнению с остальными. Поэтому существует такое число что

Рассмотрим теперь выражение Принимая во внимание соотношение (21), приведем его к виду

где функция, не содержащая производных от функции по выше второй и от функции выше первой. Поэтому в достаточно малой окрестности точки х справедлива оценка

где — положительные постоянные, не зависящие от выбора точки х. Далее, в силу тождества (22),

С точностью до малых высшего порядка по

где через обозначено дифференцирование по направлению прямой, соединяющей точки х и Так как производные функций по предположению непрерывны и, следовательно, ограничены, то в силу последнего из неравенств (24) при достаточно

малых имеет место оценка:

Учитывая найденные оценки членов правой части соотношения (32), придем к заключению, что при достаточно малом имеет место неравенство

где положительные постоянные, не зависящие от выбора точки х.

Перейдем теперь в интегральном соотношении (29) к пределу при В силу неравенства (34), интеграл в левой части соотношения (29) сходится к конечному пределу

Далее, на основании соотношения (30), получим:

В силу оценки (31), второй из интегралов в правой части при стремится к нулю. Действительно,

где - площадь поверхности наименьшее расстояние между точкой х и точками на При эллипсоид (27) уменьшается, оставаясь подобным себе, так как коэффициенты не зависят от Поэтому площадь его поверхности

где число В не зависит от Таким образом,

При правая часть этого неравенства стремится к нулю, так как обращаются в нуль одновременно. Это доказывает сделанное утверждение.

Перейдем к рассмотрению первого интеграла в правой части равенства (36). Согласно равенству (12):

где направляющие косинусы внешней нормали к границе Выписав явно выражения для производных и приняв во внимание, что на поверхности

получим

При малых

где через обозначена совокупность членов, бесконечно малых одновременно с Далее, согласно (33) и (19), при малых

Произведя суммирование по значку а в сумме, входящей в равенство (37), и подставив выражение для получим

Сумма — входящая в подынтегральное выражение, равна проекции отрезка проведенного из точки к в точку на внешнюю нормаль к поверхности в точке Эта проекция отрицательна, так как внешняя нормаль к как границе области направлена вовне т. е. внутрь эллипсоида У (рис. 27) Далее отметим, что объем конуса построенного на элементе на основании, с вершиной в точке с точностью до малых высшего порядка равен

Рис. 27

Заметив, что суммирование всех таких конусов даст область придем к заключению, что интеграл в правой части равенства (38) равен утроенному объему эллипсоида Вследствие этого,

учитывая выражение (28) и знак получим

что, после подстановки в равенство (38), даст

На основании произведенных оценок придем к заключению, что при выражение (36) стремится к пределу

Приняв во внимание найденные предельные зависимости и перейдя в интегральном соотношении (29) к пределу при получим формулу Грина-Стокса;

Когда т. е. при для для формула Грина-Стокса приобретет вид:

где

ЗАДАЧА

(см. скан)