§ 3. Интегральные преобразования в конечных пределах

В этом параграфе выясним, как следует выбрать ядро преобразования, чтобы вычислить разность входящую в преобразованное уравнение (20), и установим вид обратного преобразования при конечных пределах изменения переменной

Примем сначала, что коэффициенты удовлетворяют условиям, указанным в 5°, также и в точках (точнее в а справа слева, так как точки вне интервала с конечными точками не рассматриваются). Тогда условиями в точках могут быть либо граничные условия вида

либо условия периодичности (при этом предполагается, что и

Штрихи, как и в предыдущем параграфе, означают дифференцирование по переменной преобразования

Рассмотрим граничное условие при Ввиду (19)

Умножив граничное условие (27) для сначала на и подставив значение из (29), а затем умножив это граничное условие на и подставив значение из (29), получим два соотношения:

Если то они позволяют выразить значение одной из формул:

в зависимости от того, какой из коэффициентов отличен от нуля (если оба они отличны от нуля, то формулы дают одинаковые результаты). Для нижнего предела результат аналогичен:

Таким образом, когда условия предыдущего параграфа выполнены, то интегральное преобразование задачи с граничными условиями (27) может быть доведено до конца, если ядро преобразования удовлетворяет однородным граничным условиям с теми же коэффициентами, что и в (27). Ввиду (16) отсюда следует, что ядро преобразования должно быть решением следующей граничной задачи Штурма-Лиувилля:

Из предыдущей главы, где подробно рассмотрена задача этого вида, вытекает, что:

1. Задача имеет решения, отличные от тождественного нуля только при определенных вещественных значениях параметра — собственных числах задачи, — которые образуют бесконечную возрастающую последовательность — спектр собственных чисел:

2. Каждому собственному числу задачи соответствует одно и только одно линейно независимое решение задачи — собственная функция, принадлежащая числу Ввиду однородности задачи собственные функции можно произвольным образом нормировать.

3. Собственные функции попарно ортогональны с весом откуда следует, что нормированные с тем же весом собственные функции удовлетворяют условию

Ниже всюду предполагается, что собственные функции нормированы в соответствии с (37).

4. Функция такая, что интеграл

существует и равномерно ограничен относительно совокупности значений, которые могут принимать параметры может быть представлена в форме ряда

где

а равенство понимается в смысле сходимости в среднем. Разложение (39) и условия, наложенные на интеграл (38), непосредственно следуют из условий существования разложения (35) предыдущей главы для

Сравнив (40) с интегральным преобразованием (5) искомой функции видим, что следует положить

где собственные функции задачи Тем самым в данном случае достаточно рассматривать целочисленные значения аргумента у. При каждом фиксированном целочисленном значении ядро преобразования совпадает с собственной функцией задачи Штурма-Лиувилля (34) -(35), а интегральное преобразование функции и — с ее коэффициентом разложения в ряд (39) по собственным функциям этой задачи.

Если уравнение для и принадлежит такому классу уравнений, что интеграл от их решений вида (38) удовлетворяет сформулированным выше требованиям, то формула (39) представит обратное преобразование. Из единственности разложения (38) — (39) вытекает взаимнооднозначная связь между функцией и ее интегральным преобразованием. Следовательно, решив преобразованную задачу, автоматически получим решение исходной задачи в форме ряда (39).

Когда по переменной преобразования заданы условия периодичности (28), то выражение (19) можно вычислить — именно оно равно нулю, — если ядро преобразования также подчинено условиям периодичности. При этом результаты, относящиеся к задаче с граничными условиями вида (27), переносятся на задачу с условиями периодичности с единственным отличием: каждому собственному числу может принадлежать не одна, а две линейно независимые собственные функции, которые для сохранения вида соотношений должны быть выбраны взаимно ортогональными.

Предположим, наконец, что в граничных точках коэффициенты могут иметь особенности, т. е. испытывают бесконечный разрыв или коэффициент обращается в нуль. Это может иметь следствием, во-первых, изменение выражения в правой части обратного преобразования (39) и, во-вторых, изменение формулировки условий в граничных точках

Если особенности в точках достаточно слабые, то обратное преобразование сохраняет свой вид. Более точную формулировку, что значит «достаточно слабые» особенности, читатель найдет в начале предыдущей главы (для Практически, однако, этот случай малоинтересен. В отличие от этого часто встречаются «достаточно сильные» особенности в граничных точках. Если в одной или обеих граничных точках есть такого рода особенности, то изменения в форме прямого и обратного преобразований, которые могут при этом появиться, того же типа, как если бы интервал преобразования был бесконечен соответственно в одну или обе стороны. Возможное влияние этих особенностей на форму преобразований выяснено в следующем параграфе, посвященном преобразованиям с бесконечными пределами. Отметим, впрочем, что такие важные разложения, как разложение на конечном интервале по собственным функциям задач для уравнений Бесселя (гл. XXXII, § 10, п. 3) или Лежандра (гл. XVI, § 2), сохраняют вид хотя соответствующие уравнения имеют особенности в граничных точках.

Обратимся к условиям, которым должно быть подчинено ядро в граничной точке где коэффициенты уравнения имеют особенность. Практически, как правило, а на значения искомой функции и и ее производной и при накладывается одно из следующих условий:

Типичным является условие (42), причем в тех случаях, когда оно достаточно, чтобы обеспечить единственность решения, первое из условий (43) в общем случае слишком сильно, а второе

следует из (42). Условие (42), вообще говоря, недостаточно, когда особенность недостаточно сильная, и тогда для обеспечения единственности решения необходимо одно из условий (43). Если ядро подчинить тем же условиям, что и искомую функцию, то в обоих случаях