§ 2. Цилиндрические волны

Рассмотрим частный случай, когда функции и зависят только от х и у, т. е. сохраняют постоянное значение на всякой прямой, параллельной оси Если передвигать точку

параллельно оси то, очевидно, правая часть формулы Пуассона (11) не будет менять своего значения, т. е. функция а также не будет зависеть от и формула (11) даст решение уравнения

при начальных условиях

Мы можем рассматривать решение (11), оставаясь исключительно на плоскости Для этого надо интегралы формулы (11), которые берутся по сферам, преобразовать в интегралы по кругам на плоскости Возьмем точку на плоскости Точки с координатами определяемые по формулам:

при суть переменные точки сферы с центром и радиусом Части этой сферы, находящиеся над и под плоскостью проектируются на плоскость в виде круга с центром и радиусом Известно, что

где направление нормали к т. е. радиуса этой сферы, образующей острый угол с осью Если переменная точка сферы, ее проекция на плоскость то

где координаты переменной точки круга В результате преобразования формулы (11) получим

Эта формула дает решение волнового уравнения (12), удовлетворяющее начальным данным (13).

Положим, что начальное возмущение ограничивается некоторой конечной областью В на плоскости с контуром т. е. и равны нулю вне В. Пусть точка лежит вне области В. Для моментов времени где наименьшее расстояние от до контура круг не имеет общих точек с областью функции и равны нулю во всем круге и формула (14) дает точки

возмущение еще не дошло. В момент в точку придет передний фронт волны. Для значений где наибольшее расстояние от до контура круг будет содержать внутри себя всю область В и мы получим

В данном случае после момента времени функция и не обращается в нуль, как в случае трехмерного пространства. Но ввиду присутствия члена в знаменателе можно утверждать, что и(х, у, при Таким образом, начальное возмущение, локализованное на плоскости, не локализовано во времени. В этом случае возникает волна, которая имеет передний фронт волны, но не имеет заднего фронта (принцип Гюйгенса не имеет места). В трехмерном пространстве уравнению (12) соответствуют так называемые цилиндрические волны.