§ 8. Вопросы единственности решений внешних граничных задач для уравнения Гельмгольца

Выше мы уже касались проблемы единственности решения внутренних граничных задач для уравнения Гельмгольца и сформулировали альтернативу (§ 2), согласно которой решения

внутренних задач всегда единственны с точностью до свободных колебаний.

Перейдем теперь к внешним граничным задачам. Покажем, что справедлива следующая теорема единственности: решение внешних задач Дирихле и Неймана для уравнения Гельмгольца

в классе регулярных функций, удовлетворяющих на бесконечности условию излучения:

единственно.

Для доказательства теоремы достаточно показать, что ренгения внешних однородных задач Дирихле и Неймана, удовлетворяющие на бесконечности условию излучения, тождественно равны нулю.

Пусть V — бесконечная область, в которой ищется решение граничной задачи, ее граница, — сферическая поверхность радиуса содержащая поверхность внутри себя. Рассмотрим положительную форму

где

Заметим, что функция удовлетворяет волновому уравнению

Действительно, приняв во внимание, что функция и удовлетворяет уравнению Гельмгольца, получим:

что и утверждалось.

Продифференцируем по

Подставив в последний член правой части выражение для из уравнения (100), после несложных преобразований придем к соотношению:

Применив теперь к в области V, заключенной между поверхностями , формулу Остроградского—Гаусса, получим

где — нормальная к границам и 2 компонента вектора имеющего своими компонентами по осям величины

Из выражений для ясно, что

Выразим теперь через и с помощью соотношения (99). Введя обозначения

где соответственно вещественная и мнимая части запишем соотношение (99) в форме

откуда

В силу любого из граничных условий или когда на поверхности компонента так что интеграл по в формуле (101) равен нулю.

Для оценки интеграла по воспользуемся условием излучения (70) и оценкой (82):

которые при обозначениях (102) представим в виде:

Символ здесь означает совокупность членов более высокого порядка малости, чем Подставив эти оценки в формулу (104)

и приняв во внимание, что на получим

откуда ясно, что

Если то подынтегральное выражение интеграла представляет бесконечно малую величину по сравнению с Поэтому этот интеграл при стремится к нулю, вследствие чего

Подставив сюда выражение (98) для приняв во внимание формулу и положив один раз а другой раз придем к выводу, что в силу соотношений (107) при всех должно соблюдаться равенство

Но это возможно только в том случае, если все входящие сюда интегралы равны нулю. Так как подынтегральные выражения интегралов, являющихся коэффициентами при неотрицательны, то в области откуда следует, что в этой области Таким образом, для теорема доказана.

Если же то из соотношений (98) и (102) следует, что периодическая функция времени и, значит, ее производная по неограниченное число раз меняет знак. Но правая часть соотношения (106) имеет определенный знак. Поэтому соблюдение соотношения (106) возможно только в том случае, если обе его части равны нулю, откуда

При произвольном это возможно только в том случае, если

откуда следует, что

Отсюда, в силу основной леммы теории уравнения Гельмгольца (§ 7), следует, что в области Тем самым теорема доказана полностью.

Легко видеть, что доказательство теоремы может быть проведено до конца и в том случае, если при условие излучения брать не в форме (70), а в форме:

так как обращение интеграла в нуль при обеспечивается экспоненциальным убыванием функций имеющим место в силу оценки (82).

Для читателя представит интерес попытаться распространить проведенное доказательство на смешанную внешнюю задачу.

ЗАДАЧА

(см. скан)