5.10. ПРОВЕРКА РАВЕНСТВА к ДИСПЕРСИЙ (КРИТЕРИЙ БАРТЛЕТТА)

Предположим, что имеется к выборок, причем каждая извлечена из нормального распределения; допустим, что они представлены следующим массивом:

(см. скан)

Чтобы проверить, одинаковы ли дисперсии к выбранных совокупностей, можно сначала использовать графический метод: выборочные ф. р., нанесенные на вероятностную бумагу, будут приближаться к параллельным прямым, если интересующие нас распределения нормальны и имеют одинаковые дисперсии.

Более объективной для нашего примера будет следующая процедура с применением критерия Бартлетта: для каждой выборки вычислим обычную оценку дисперсии

а также суммарную оценку

Критерий Бартлетта для проверки гипотезы о равенстве дисперсий таков:

(логарифмы в этой книге подразумеваются по основанию ). Для уровня значимости можно получить хорошее приближение, если воспользоваться, следуя Боксу, такими преобразованиями. Вычислим

Тогда выборочным распределением статистики

будет (приближенно) -распределение степенями свободы.

Пример 5.10.1. Равенство трех дисперсий. Применим критерий к следующим трем выборкам:

При гипотезе «равных дисперсий» получается реализация -распределения с 2 и 13061 степенями свободы. При больших значениях -распределение с у, и степенями свободы хорошо приближается распределением степенями свободы, если считать, что — это и есть наблюденное значение Таким образом, при нулевой гипотезе — реализация случайной величины с двумя степенями свободы, а уровень значимости составляет примерно 0,6. Это очень большая вероятность, так что данные согласованы с гипотезой «равных дисперсий».

Следует подчеркнуть, что этот критерий рассчитан на нормальные распределения и он не будет точным при заметно не нормальных распределениях. Поэтому (приближенную) нормальность исходных выборок нужно установить до применения критерия, а если уровень значимости гипотезы нормальности составит от 0,01 до 0,07, то при его интерпретации требуется осторожность. В рассмотренном выше примере уровень значимости довольно высок, что и обосновывает вывод о равенстве дисперсий.