6.6.3. ИССЛЕДОВАНИЕ ПОВЕРХНОСТИ ФУНКЦИИ ПРАВДОПОДОБИЯ

Энтомолога, как правило, интересует не только уровень дозировки яда, при котором погибает 50% (или, скажем, 90%) всей совокупности насекомых, но и значения параметров вероятностей модели (6.6.1), отвечающие максимуму функции правдоподобия, а также характеристики точности их статистического определения. Пороговый уровень токсичности, соответствующий гибели 50% всей совокупности насекомых, выраженный в логарифмах дозы яда х (значение фактической дозы равно можно найти из уравнения Грубое приближение для х было получено из рис. 6.6.3 «на глаз». Оценкой является значение х, соответствующее 50%, т. е. 0,68, а оценкой а является 0,23. Таким образом, как следует из графика, оценкой зависимости будет

Для построения более точной оценки найдем функцию правдоподобия

где используются те же обозначения, что и в табл. 6.6.1. В терминах наблюдаемых значений долей [см. табл. 6.6.1]. Функция правдоподобия может быть переписана как

где

при замене параметров на

Стандартная процедура нахождения оценок максимального правдоподобия (т. е. значений , максимизирующих (6.6.2)) заключается в решении системы уравнений правдоподобия и вычислении асимптотической ковариационной матрицы. Вместо этого исследуем сначала поверхность функции правдоподобия в окрестности максимума, за который приближенно можно взять а Значения легко вычисляются по формуле (6.6.2) или по формуле

значения приведены в табл. 6.6.1, . В табл. 6.6.2 показаны необходимые промежуточные результаты при

Таблица 6.6.2. (см. скан) Промежуточные результаты вычислений для

С помощью обычного калькулятора находим логарифм умножаем полученное значение на повторяем то же самое для складываем результаты и эту процедуру выполняем еще четыре раза. Значение функции правдоподобия равно:

В табл 6.6.3 приведены значения функции вычисленные для различных в окрестности точки максимума.

Таблица 6.6.3. (см. скан) Значения функции правдоподобия в окрестности максимума

Как следует из этой таблицы, приближенно можно считать т. е. максимум, полученный из рис. 6.6.3, является достаточно хорошим приближением. Следует, однако, заметить, что для целого набора значений удовлетворяющих (приближенно) условию

значение функции правдоподобия практически не меняется: с точностью до трех значащих цифр

Это означает, что максимум определяется недостаточно точно, а поверхность функции правдоподобия имеет почти горизонтальный хребет в направлении . Максимум можно было бы определить с любой степенью точности, выполняя расчеты, как в табл. 6.6.3, но на более узком интервале. Однако и в этом случае можно было бы заметить, что величина а имеет малую степень изменчивости, в то время как изменяется довольно сильно. Это означает, что оценки имеют высокую отрицательную корреляцию.