5.8.2. ЗНАЧИМОСТЬ СРЕДНЕГО, КОГДА ДИСПЕРСИЯ НЕИЗВЕСТНА. t-КРИТЕРИЙ СТЬЮДЕНТА

Предполагается, что выборка извлечена из нормальной совокупности с неизвестными параметрами; при этом обозначает математическое ожидание, а — дисперсию. Нулевая гипотеза такова:

Процедура состоит в вычислении следующих статистик:

1) среднее выборки

2) дисперсия выборки их

после чего строится «отношение Стьюдента»

с (5.8.1)]. В соотношении (5.8.2) неизвестное значение заменено его оценкой 5 [см. также пример 4.5.2].

При гипотезе Н статистика оказывается реализацией случайной величины подчиняющейся распределению Стьюдента с степенями свободы.

Если конкурирующая гипотеза односторонняя —

(так что значения х, которые меньше не представляют интереса или считаются фактически невозможными, а полученное по формуле (5.8.2) значение обязано быть положительным), то уровень значимости равен

Если же конкурирующая гипотеза односторонняя, но в противоположном направлении, т. е.

то уровень значимости равен

принимает в этом случае отрицательное значение. В двухсторонней ситуации, когда конкурирующая гипотеза имеет вид

уровень значимости равен

На самом деле опубликованные таблицы не содержат значений как функции от Наоборот, в них приводятся значения как функции от [см. приложение 5]. Тогда уровень значимости приходится определять посредством интерполяции [см. «Обратные таблицы» в разделе 5.2.2). Следует также иметь в виду, что в некоторых таблицах значение приводится как функция от

Наиболее важна проверка гипотезы при выявлении «эффекта», когда данные представляют собой упорядоченные в содержательном смысле пары, как в следующем примере.

Пример 5.8.1. Сопоставление пар. Каждый из образцов проволоки разламывают на два куска, для одного из которых (выбор производится случайно) измеряется нагрузка на растяжение при фиксированной низкой температуре, а для другого — при фиксированной высокой. Надо проверить, влияет ли разность температур на величину растяжения. Получены такие данные:

Анализируя не отдельно х и у, а величины мы принимаем во внимание только результаты сравнения частей одного и того же образца и тем самым исключаем лишние различия, которые могут обнаружиться при сравнении исходных образцов. Величины считаются реализациями нормальной случайной величины, которая имеет нулевое математическое ожидание при нулевой гипотезе, утверждающей,

что температура не влияет на удлинение проволоки (так что здесь а дисперсия ее неизвестна. Вычислим

и

Проверку гипотезы проводят по -критерию — одностороннему или двухстороннему, в зависимости от того, какой из них более подходит: например, если бы из основ техники было известно, что влияние, коль скоро оно может иметь место, должно было бы уменьшать требуемую силу нагрузки с повышением температуры, то следовало бы воспользоваться односторонним критерием, основанным на (5.8.4) с степенями свободы. Пусть тогда односторонний критерий для нулевой гипотезы об отсутствии влияния против гипотезы об отрицательном влиянии дает уровень значимости

[см. приложение (9.5)].

Это обеспечивает сильный довод против нулевой гипотезы. (Отметьте роль предположений нормальности исходной вероятностной модели: -критерий оказывается устойчивым (робастным) при умеренных отклонениях от нормальности, т. е. он не очень чувствителен к подобным отклонениям, так что для малых выборок, когда нет определенности в том, какова же природа исходного распределения, довольно безопасно применять -критерий.)

Пример 5.8.2. Данные опыта Дарвина. Если проанализировать с этой точки зрения опыт Дарвина [см. пример 5.7.1], то мы должны представить 15 разностей высот из табл. 5.7.1 как 15 независимых реализаций и нормальной случайной величины с параметрами , где значение а неизвестно, а при нулевой гипотезе. Для проверки этой гипотезы вычислим

где

а

так что

При 14 степенях свободы уровень значимости для одностороннего критерия, если воспользоваться таблицами -распределения из

приложения (5), равен 0,025, т. е. он принимает довольно малое значение, в силу чего нулевая гипотеза отклоняется. Таким образом, экспери-, мент обеспечивает достаточно сильный довод в поддержку предположения, что полученные перекрестным опылением растения оказываются более высокими, чем самоопыленные.

Можно было бы заметить, что полученный уровень значимости близок к величине (0,026), найденной с помощью метода рандомизации Фишера [см. пример 5.7.1].