6.6.4. ОЦЕНКА МАКСИМАЛЬНОГО ПРАВДОПОДОБИЯ

По определению оценка максимального правдоподобия является решением системы уравнений правдоподобия, которая в нашем примере имеет вид

где

а

значение плотности стандартного нормального распределения в точке Для решения этой системы необходимо прежде всего найти первое приближение для . В качестве такого приближения вполне подходит значение, полученное на основе рис. 6.6.3. Им является

Для построения следующего, более точного приближения

снова рассмотрим систему уравнений правдоподобия

и разложим в ряд Тейлора в окрестности точки для членов первого порядка. Тогда уравнения правдоподобия с некоторой степенью приближения перепишутся следующим образом:

Здесь под записью следует понимать значение вычисленное в точке , и т. д. Выражения для приводятся в (6.6.6). Как следует из (6.6.6), в системе (6.6.7) присутствуют также члены, содержащие и Они равны:

и

Отсюда следует, что

и

где

для всех у. Найдем теперь вторую производную:

где

При условии, что хорошие приближения, значение будут малы по абсолютной величине для каждого [табл. 6.6.4], поэтому первый член в правой части (6.6.8) по сравнению со вторым будет ничтожно мал, причем

Таблица 6.6.4. (см. скан) Значения

Отсюда с оговоренной степенью приближения

где

Аналогично: поскольку находим

Точно так же

Таким образом, окончательно система (6.6.7) для приближенно переписывается как

где веса определяются по формуле (6.6.9).

Процедура сводится к итерации следующего вида. Решаем систему линейных уравнений (6.6.10) относительно и полагаем

Затем вычисляем новые веса по формуле (6.6.9), подставляя вместо и значения После некоторого числа итераций значения и станут близкими к нулю, описанная процедура представлена в табл. 6.6.5 а и 6.6.5 б.

Прокомментируем расчеты, показанные в этих таблицах. В качестве первого приближения, как уже было предложено, берем на основе рис. 6.6.3. Затем вычисляем значения столбцов

Значение берем из табл. Значения (функции плотности нормального распределения) надо взять из стандартных таблиц [см. приложение 3]. Значение может быть получено по формуле (6.6.9) или непосредственно из специальных таблиц (входом этих таблиц является пробит-значение а не само значение а [см. Fisher and Yates (1957), табл. IX2-G]. После этого вычисляются суммы произведений и и система (6.6.10) решается относительно поправок Нетрудно проверить, что что приводит к новым значениям Следующий цикл итераций дает откуда Можно ожидать, что дальнейшие итерации не изменят первые три разряда значений , поэтому в качестве оценок берем

а оцененная кривая зависимости имеет вид

где равно логарифму по основанию 10 дозы яда. Оценка -ного значения для которого находится из уравнения

Отсюда

соответствующий пороговый уровень дозы яда равен: