Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
6.3. ПРИМЕРЫ ПРИМЕНЕНИЯ МЕТОДА МАКСИМАЛЬНОГО ПРАВДОПОДОБИЯ В ОДНОПАРАМЕТРИЧЕСКОЙ СИТУАЦИИПример 6.3.1. Распределение Бернулли. Вектор данных обозначим через
поэтому функция правдоподобия имеет вид
где
откуда находим решение, т. е. о.м.п. для
Приближенное значение дисперсии оценки
где
что в действительности в точности равно дисперсии 9. Оценкой дисперсии будет Пример 6.3.2. Биномиальное распределение. Так называется распределение общего числа удачных исходов
После удаления множителя
При построении приближенного доверительного интервала, основанного на формуле (6.2.15), функция правдоподобия может быть записана в виде
где
и
Поскольку
Для построения 95%-ного доверительного интервала для 0, как было рекомендовано в разделе 6.2.5, п. б), необходимо решить следующие неравенства:
Эти неравенства полностью совпадают с неравенствами, полученными в примере 4.7.1 при аппроксимации биномиального распределения нормальным. Пример 6.3.3. Распределение Пуассона. Допустим, данные представлены в виде таблицы частот, т. е. известно, что повторяется
Функция правдоподобия 0 пропорциональна
Опуская множитель
где
Таким образом, о.м.п. является корнем уравнения
откуда
Аналогично
где X — случайная переменная, порождаемая х, и
откуда с учетом того, что
Для реализации метода, предложенного в разделе 6.2.5, б), необходимо решить неравенства
Отметим, что соответствующий 95%-ный доверительный интервал в точности совпадает с доверительным интервалом, построенным в примере 4.7.2 на основе аппроксимации пуассоновского распределения нормальным. Математическое ожидание оценки Пример 6.3.4. Геометрическое распределение. Обозначим через X число независимых испытаний в схеме Бернулли до первого «успеха» (включая его), вероятность «успеха» в одном испытании, как и прежде, будем обозначать через
Для каждого значения
откуда
и уравнение правдоподобия
Отсюда находим, что о.м.п. для
Для данного примера расчет точного значения дисперсии оценки весьма затруднителен, поэтому здесь как раз уместно использование приближенной формулы. Для геометрического распределения, как легко проверить,
Поскольку
В соответствии с (6.2.15) дисперсия о.м.п. приближенно равна
а ее оценка — Если нас интересует параметр
что приводит к о.м.п.
Смещение этой оценки для
Пример 6.3.5. Отрицательно биномиальное распределение Обозначим через X число независимых испытаний в схеме Бернулли до первых с «успехов»,
Как и в предыдущем примере, легко найти о.м.п. для 0. Она равна:
с приближенной дисперсией Пример 6.3.6. Выборка без возвращения из конечной совокупности. Этот пример характерен тем, что наблюдения здесь зависимы, а неизвестный параметр дискретен. Вектор данных
а условная
Совместная
она может быть переписана как
где
Опуская неинформативные множители, функцию правдоподобия можно записать в виде
Поскольку в принимает только целочисленные значения, максимум не может быть найден с помощью дифференцирования. Он определяется неравенствами
которые приводят к оценке
где
Формула выборочной дисперсии приводится в следующем примере. Пример 6.3.7. Гипергеометрическое распределение. Вместо записи индивидуальных значений
Как видим, эта функция правдоподобия с точностью до Выборочную дисперсию
которая, кстати, является несмещенной, приводит к результату
Пример 6.3.8. Определение плотности распространения микроорганизмов методом разбавления. Применение метода Ньютона. Один из методов оценивания плотности распространения невидимых микроорганизмов в воде заключается в следующем. Производится
Обозначим через в плотность распространения микроорганизмов в исследуемой воде (число организмов в
где
Таким образом, если опустить неинформативный множитель, функция правдоподобия в для наших данных будет иметь вид
или в терминах
Найдем производную
Приравнивая ее к нулю, приходим к уравнению правдоподобия. Несколько вычислений производной позволяют заключить, что корень лежит между 0,60 и 0,61. Таким образом, в качестве первого приближения можно взять
В качестве оценки
Метод Ньютона дает достаточно высокую точность решения уравнений правдоподобия. Выражение
Вычисления по методу Ньютона приводят к следующим результатам:
Последнее приближение достаточно точно, его и возьмем в качестве корня уравнения правдоподобия. Итак, о.м.п. параметра
где
Таким образом, эти уравнения сводятся к
его корнями являются
Поэтому 95%-ным доверительным интервалом для Оценка для Можно было бы воспользоваться более грубым методом построения доверительного интервала [см. раздел 6.2.5, п. г)], который основывается на том, что При построении доверительного интервала для Пример 6.3.9. Нерегулярные случаи, а) Граница равномерного распределения. Если случайная величина X распределена равномерно на интервале
Функция правдоподобия
т. е.
где б) Оценивание параметра сдвига экспоненциального распределения. В этом случае п.р.в. равна:
а функция правдоподобия имеет вид
где Формулы для вычисления приближенного значения выборочной дисперсии о.м.п., представленные в разделе 6.2.2, в нерегулярном случае неприменимы. Выборочные свойства о.м.п. теперь должны изучаться непосредственно. Так, в пункте а) о.м.п. имеет математическое ожидание, равное
|
1 |
Оглавление
|