8.2. ОЦЕНИВАНИЕ МЕТОДОМ НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ ДЛЯ ЛИНЕЙНЫХ МОДЕЛЕЙ ПОЛНОГО РАНГА. НОРМАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. ТЕОРЕМА ГАУССА—МАРКОВА

8.2.1. ПРИМЕРЫ ОЦЕНИВАНИЯ МЕТОДОМ НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ

Пример 8.2.1. Повторные (параллельные) измерения в одной точке. Единственное численное значение измеряется раз при наличии ошибки. Наблюдения представлены в виде , где — ошибка наблюдения. В этом случае сумма квадратов (8.1.1) превращается в

а нормальное уравнение (8.1.2) — здесь оно только одно — сводится к

поэтому МНК-оценка равна: .

Пример 8.2.2. Девять наблюдений пяти постоянных силы тяжести. Более интересный пример — определение физических постоянных на основе следующих данных:

где — значения ускорения силы тяжести для пяти различных мест. Попытка решить получающуюся систему математических уравнений здесь явно не состоятельна из-за экспериментальных ошибок. Фактически эти «уравнения» весьма приблизительны, и мы могли бы описать ситуацию точнее, если бы учли, что . В обозначениях раздела 8.1 (для параметров ) имеем , а сумма квадратов, которую надо минимизировать, равна:

Дифференцирование по и подстановка приводят к нормальным уравнениям:

Это система (регулярная) неоднородных линейных уравнений полного ранга с пятью неизвестными, имеющая (единственное) решение:

[продолжение см. в примере 8.2.4].