4.10.2. ПОСТРОЕНИЕ ПРИБЛИЖЕННЫХ ДОВЕРИТЕЛЬНЫХ ИНТЕРВАЛОВ С ПОМОЩЬЮ ПРОИЗВОДНОЙ ЛОГАРИФМИЧЕСКОЙ ФУНКЦИИ ПРАВДОПОДОБИЯ
Из результатов раздела 4.10.1 следует, при обозначении 
что
и т. д., откуда легко получить приближенные доверительные интервалы для 
с уровнями доверия 0,95, 0,99 и т. д. Это мы покажем в следующем примере.
Пример 4.10.1. Построение доверительного интервала для параметра в биномиального распределения с помощью функций правдоподобия. Рассмотрим случайную величину X, соответствующую испытанию Бернулли с вероятностью успеха 0 [см. II, раздел 5.2.1]; тогда функция вероятности X есть
Для выборки 
функция правдоподобия [см. (4.9.1)] имеет вид
Производная (4.10.2) логарифмической функции правдоподобия есть 
Это реализация случайной величины
[ср. с (4.10.3)]. Легко проверить, что 
Это следует из того, что для величины 
распределенной 
Теперь необходимо обратиться к 
Имеем
откуда 
Поскольку 
то
Откуда, используя (4.10.5), находим, что
Это может быть проверено с помощью (4.9.8): так как величина 
распределена 
то 
,
откуда
Чтобы получить 95%-ный доверительный интервал для 0, используем (4.10.7); с вероятностью 0,95 (приближенно!)
т. е.
Итак, из выборки 
для которой 
(общее число успехов), 95%-ный доверительный интервал, полученный с помощью процедуры, приведенной выше, есть 
где 0, и 
равны соответственно меньшему и большему корням квадратного уравнения
Например, если 
(и, следовательно, оценкой для в будет 
), мы имеем уравнение
откуда
с той точностью, какую может обеспечить нормальное приближение (то, что биномиальное распределение можно приближенно считать нормальным, есть на самом деле частный случай общей центральной предельной теоремы [см. II, раздел 11.4.7]). «Грубый» вариант вычислений по предшествующей схеме будет таким: распределение
приближенно нормальное с математическим ожиданием 
и дисперсией 
Заменяя 
в выражении для дисперсии оценкой 
получаем значение дисперсии 4.2. Если распределение 
считается 
то 95%-ным доверительным интервалом для 
будет 
т. е. 
с (4.10.9)]. Эту оценку на базе выборки большого объема можно сравнить с точным выражением (0,12, 0,54) для 
-ного доверительного интервала для 
полученным в примере 4.7.1, где, однако, мы имели 
