4.10.2. ПОСТРОЕНИЕ ПРИБЛИЖЕННЫХ ДОВЕРИТЕЛЬНЫХ ИНТЕРВАЛОВ С ПОМОЩЬЮ ПРОИЗВОДНОЙ ЛОГАРИФМИЧЕСКОЙ ФУНКЦИИ ПРАВДОПОДОБИЯ

Из результатов раздела 4.10.1 следует, при обозначении что

и т. д., откуда легко получить приближенные доверительные интервалы для с уровнями доверия 0,95, 0,99 и т. д. Это мы покажем в следующем примере.

Пример 4.10.1. Построение доверительного интервала для параметра в биномиального распределения с помощью функций правдоподобия. Рассмотрим случайную величину X, соответствующую испытанию Бернулли с вероятностью успеха 0 [см. II, раздел 5.2.1]; тогда функция вероятности X есть

Для выборки функция правдоподобия [см. (4.9.1)] имеет вид

Производная (4.10.2) логарифмической функции правдоподобия есть

Это реализация случайной величины

[ср. с (4.10.3)]. Легко проверить, что Это следует из того, что для величины распределенной

Теперь необходимо обратиться к Имеем

откуда

Поскольку то

Откуда, используя (4.10.5), находим, что

Это может быть проверено с помощью (4.9.8): так как величина распределена то ,

откуда

Чтобы получить 95%-ный доверительный интервал для 0, используем (4.10.7); с вероятностью 0,95 (приближенно!)

т. е.

Итак, из выборки для которой (общее число успехов), 95%-ный доверительный интервал, полученный с помощью процедуры, приведенной выше, есть где 0, и равны соответственно меньшему и большему корням квадратного уравнения

Например, если (и, следовательно, оценкой для в будет ), мы имеем уравнение

откуда

с той точностью, какую может обеспечить нормальное приближение (то, что биномиальное распределение можно приближенно считать нормальным, есть на самом деле частный случай общей центральной предельной теоремы [см. II, раздел 11.4.7]). «Грубый» вариант вычислений по предшествующей схеме будет таким: распределение

величины приближенно нормальное с математическим ожиданием и дисперсией Заменяя в выражении для дисперсии оценкой получаем значение дисперсии 4.2. Если распределение считается то 95%-ным доверительным интервалом для будет т. е. с (4.10.9)]. Эту оценку на базе выборки большого объема можно сравнить с точным выражением (0,12, 0,54) для -ного доверительного интервала для полученным в примере 4.7.1, где, однако, мы имели